Interpretación de $\frac{\partial }{\partial p_1}Q_1(p_1, p_2)/\frac{\partial}{\partial p_2} Q_1(p_1, p_2)$

Question

Estoy interesado en una interpretación económica para el cociente de las derivadas parciales de una función de demanda de $Q_1(p_1, p_2)$, que es \begin{ecuación} t=\frac{\frac{\partial}{\partial p_1}Q_1(p_1, p_2)}{\frac{\partial}{\partial p_2}Q_1(p_1, p_2)}. \end{ecuación} Suponga que la mercancía se complementa de modo que ambas derivadas parciales son negativos.

Este tiene la misma forma que el MRS en la teoría del consumidor, pero la intuición no se aplican fácilmente.

He estado pensando sobre esto, ya que la proporción de la demanda, sensibilidad: si $t>1$ , a continuación, la demanda para el bien 1 es más sensible a cambios en $p_1$; si $t<1$, entonces la demanda para el bien 1 es más sensible a cambios en $p_2$.

También quiero decir que esto es algo relacionado con la cruz de la elasticidad precio de la demanda, pero la fórmula no es la misma.

Todas las interpretaciones o intuiciones sería genial!

Answer 1

Una interpretación que me puede ofrecer. La función de demanda puede ser expresada como:

$$Q_1 = Q_1(p_1,p_2)$$

Tomemos el diferencial total:

$$dQ_1 = \frac{\partial Q_1(p_1,p_2)}{\partial p_1}dp_1+\frac{\partial Q_1(p_1,p_2)}{\partial p_2}dp_2$$

Suponga que $Q_1$ se mantiene sin cambios con respecto a un cambio en los precios. Esto implica que $dQ_1=0$. La resolución de la ecuación:

$$\frac{d p_2}{d p_1} = - \frac{\frac{\partial Q_1(p_1,p_2)}{\partial p_1}}{\frac{\partial Q_1(p_1,p_2)}{\partial p_2}}$$

La expresión anterior implica lo siguiente (ya que ambas derivadas parciales son negativos):

$$t = \left|\frac{dp_2}{dp_1}\derecho| = \frac{\frac{\partial Q_1(p_1,p_2)}{\partial p_1}}{\frac{\partial Q_1(p_1,p_2)}{\partial p_2}}$$

$t$ se puede interpretar de la siguiente manera: si el bien 1 se volvió más caro, ¿cuánto sería el precio del bien 2 necesidad de cambio (disminución) tales que la demanda del bien 1 se mantiene sin cambios.

Matemáticamente, $t$ representa la magnitud de la pendiente en ($p_1,p_2$) en la curva de nivel cuando nos revisión $Q_1$.