Definiciones
Para los fijos $T$ y el movimiento $t \leq T$ entonces por definición $\color{blue}{(*)}$ , los precios a futuro $F(t,T)$ y los precios futuros $\text{Fut}(t,T)$ son ambos expectativas condicionales . Sin embargo, estas expectativas no se toman bajo la misma medida de probabilidad. Más concretamente: $$ F(t,T) = \Bbb{E}^{\Bbb{Q}^T}\left[ \left. S_T \right\vert \mathcal{F}_t \right]$$ $$ \text{Fut}(t,T) = \Bbb{E}^{\Bbb{Q}}\left[ \left. S_T \right\vert \mathcal{F}_t \right] $$ donde
- $\Bbb{Q}$ el medida neutral de riesgo La medida bajo la cual el $t$ -el valor de toda cartera autofinanciada surge como una martingala cuando se expresa en relación con la cuenta numérica del mercado monetario $B_t = \exp(\int_0^t r_s ds)$
- $\Bbb{Q}^T$ denota el $T$ -medida anticipada La medida bajo la cual el $t$ -El valor de toda cartera autofinanciada surge como una martingala cuando se expresa con respecto al cupón cero $T$ -bond numéraire $P(t,T) = \Bbb{E}^\Bbb{Q}_t\left[B_t B_T^{-1}\right]$ .
De las definiciones anteriores tenemos que:
- Cuando los tipos de interés son deterministas, ambas medidas coincidir . Esto se puede ver escribiendo el Derivado de Radon-Nikodym del cambio de medida: $$ \left. \frac{d\Bbb{Q}}{d\Bbb{Q}^T} \right\vert_{\mathcal{F}_t} = \frac{P(0,T) B_t}{B_0 P(t,T)} $$
- Al tratarse de simples expectativas condicionales, los precios futuros y a plazo son martingalas bajo sus respectivas medidas. Esto es una consecuencia directa de la propiedad de la torre de expectativas condicionales . De hecho, mirando el proceso de precios futuros sin pérdida de generalidad, para $s < t$ siempre se puede escribir: $$\Bbb{E}^{\Bbb{Q}^T}\left[ \left. \text{Fut}(t,T) \right\vert \mathcal{F}_s \right] = \Bbb{E}^{\Bbb{Q}^T}\left[ \Bbb{E}^{\Bbb{Q}^T}\left[ \left. \left. S_T \right\vert \mathcal{F}_t \right] \right\vert \mathcal{F}_s \right] = \Bbb{E}^{\Bbb{Q}^T}\left[ \left. S_T \right\vert \mathcal{F}_s \right] = \text{Fut}(s,T) $$
$\color{blue}{(*)}$ Por ejemplo, el precio futuro se define de forma que el valor de a contrato a plazo es cero al inicio. Denotando $t$ la fecha de inicio, el precio a plazo es, por tanto, el precio de ejercicio $K$ de manera que los flujos de caja descontados esperados del contrato $\Bbb{E}^{\Bbb{Q}}_t \left[ B_t B_T^{-1} (S_T-K) \right] = 0$ lo que equivale a afirmar que $F(t,T) = \Bbb{E}_t^{\Bbb{Q}^T} [S_T]$ con $\Bbb{Q}^T$ la medida asociada al cupón cero $T$ -bond numéraire $P(t,T)$ desde $P(t,T)$ es $\mathcal{F}_t$ -medible. Un razonamiento similar puede utilizarse para los futuros (pero el mecanismo de liquidación diaria hace que sea un poco más difícil de escribir).
Respuesta
Para simplificar las cosas, supongamos que los tipos de interés son deterministas (de modo que $\Bbb{Q} = \Bbb{Q}^T$ ) y que sólo manipulemos procesos adaptados y de trayectoria continua que verifiquen las condiciones habituales.
A partir de las definiciones anteriores, los precios a plazo/futuros son martingales bajo alguna medida $\Bbb{Q}$ equivalente a la medida del mundo real $\Bbb{P}$ . Por el teorema de la representación martingala Esto significa que no están a la deriva. En efecto, tenemos eso: $$ F(t,T) = \Bbb{E}^\Bbb{Q}_t [ S_T ] \iff dF(t,T) = \sigma_t dW_t^\Bbb{Q} $$
Por Teorema de Girsanov (o Bayes Abstracto), esto también significa que no están a la deriva bajo la medida equivalente del mundo real $\Bbb{P}$ en general. De hecho, $$ F(t,T) = \Bbb{E}^\Bbb{P}_t [ S_T ] = \Bbb{E}^\Bbb{Q}_t \left[ S_T \frac{Z_T}{Z_t} \right] \iff dF(t,T) = \mu dt + \sigma_t dW_t^\Bbb{P} $$
donde $\mu$ viene dada por el diferencial de la covariación cuadrática entre $W_t^\Bbb{Q}$ y el logaritmo estocástico del proceso de cambio de medida $\frac{Z_T}{Z_t}$ , donde $Z_t= \left. \frac{d\Bbb{P}}{d\Bbb{Q}}\right\vert_{\mathcal{F}_t}$ $$ \mu = d\langle W_t^\Bbb{Q}, \mathcal{L}(Z_T/Z_t) \rangle_t $$
