$ \mathop{\mathbb{E^{}}}\left\lbrace 1_{S_T > K} \; S_T \derecho\rbrace $ ? Exp. de un indicador func. y una difusión con los no-proporcional vol

Question

Cómo calcular $ \mathop{\mathbb{E^{}}}\left\lbrace 1_{S_T > K} \; S_T \derecho\rbrace $ ?

donde

$ dS_t = S_t r dt + \sigma dW_t $

y

$ 1_{S_T > K} $ es la función del indicador de ser uno cuando se cumple con la condición.

Me gustaría probar

$ \mathop{\mathbb{E^{}}}\left\lbrace 1_{S_T > K} \; S_T \derecho\rbrace = \int_{S_T > K}^{\infty} n(\varepsilon) S_T d\varepsilon $

con

$ S_T = S_t e^{r(T-t)} + \sigma e^{rT} \int_t^T e^{-r} dW_s $

pero yo no puedo manejar la expectativa de integral' porque $S_T$ es una suma de --- y, por supuesto, una falta de conocimiento en general. Mi experiencia es solo con hacer una GBM en una normal estándar .

Answer 1

Para solucionar esto, es necesario utilizar la propiedad de Radon-Nikodym derivados $(L)$, que establece:
$E[L. X] = E[X]$ bajo la nueva medida (donde X puede ser el indicador de la función).

A continuación, para convertir S(t) para RN derivados, hacer:
$S(t) = S(0) * exp(rt) * E\left(\frac{S(T)}{exp(rt)S(0)}\right)$
$S(t) = S(0) * exp(rt) * L$
como $E\left(\frac{S(T)}{exp(rt)S(0)}\right)$ puede ser utilizado como un RN derivados.

RN derivado ayuda a mover a la nueva medida, con la expectativa de que sólo el indicador de función (que no es sino la probabilidad de que S(T) > K). Para obtener esta probabilidad que usted necesita para encontrar el proceso de S(t) en virtud de esta nueva medida, que pueden ser obtenidos mediante la sustitución de $dW$ con $\sigma dt + dW$ (esto viene desde el teorema de Girsanov). Esto te dará la respuesta.

Mira este video para una explicación más completa (https://www.youtube.com/watch?v=W8YG5O1GGjE de 30min marca)

Answer 2

Desde \begin{align*} S_T = S_0 e^{rT} + \sigma e^{rT} \int_0^T e^{-r} dW_s, \end{align*} $S_T$ es normal con una media de \begin{align*} a &=S_0 e^{rT}, \end{align*} y la varianza \begin{align*} b^2 &= \sigma^2 e^{2rT} \int_0^T e^{-2rs} ds\\ &=\frac{\sigma^2}{2r} \left(e^{2rT} - 1 \right). \end{align*} Es decir, $S_T = a + b\, \xi$, donde $\xi$ es una variable aleatoria normal estándar. En consecuencia, \begin{align*} \mathbb{E}\left(1_{S_T > K} S_T \derecho) &= \int_{-\infty}^{\infty} 1_{a + b\, x> K} (a + b \, x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx\\ &=\int_{\frac{K-a}{b}}^{\infty}(a + b \, x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx\\ &= N\left(\frac {- K}{b}\derecho) + b \int_{\frac{K-a}{b}}^{\infty} x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx\\ &=N\left(\frac {- K}{b}\derecho) + \frac{b}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{K-a}{b} \derecho)^2}, \end{align*} donde $N$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria normal estándar.