La continuidad de la fórmula Black-Scholes

Question

Cómo prueba de B&S fórmula de fijación de precios es continua en el tiempo $t$ (o no?).

El general de la fórmula de fijación de precios es $$ C_t = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^*[(S_T-K)^+ | \mathcal{F}_t] \hspace{1cm} 0\leq t\leq T $$ A continuación, por el tiempo al vencimiento $t=T$ $$ C_T = \mathbb{E}^*[(S_T-K)^+ | \mathcal{F}_T] = (S_T-K)^+ $$ que es la lógica. Para otra época anterior $t<T$, la integración de cálculo dar $$ C_t = S_t \mathcal{N}(d+) - e^{-r(T-t)} K \mathcal{N}(d-) $$ con $$ d\pm = \frac{\text{ln}\frac{S_t}{K} + (r\pm\frac{\sigma^2}{2})(T-t) }{\sigma\sqrt{T t}} $$ Desde $S_t$ es modelado como el movimiento browniano geométrico, tiene que ser continua en $t$. Veo que todo en el B&S fórmula es continua en $t$. Pero no puedo prueba de la continuidad $$ C_t \rightarrow C_T \hspace{1cm} \text{si } t\rightarrow T $$

Answer 1

En primer lugar, recordemos que por la propiedad de $\mathcal{N}$ de ser una función de distribución acumulativa, tenemos que $$\lim_{x \a\infty}\mathcal{N}(x) = 0$$ y $$\lim_{x \to \infty}\mathcal{N}(x) = 1$$.

Ahora, vamos a ver cómo el Black-Scholes precio se comporta como pasa el tiempo hasta la madurez. En primer lugar tenemos que

$$ d\pm = \left(\frac{\text{ln}\frac{S_t}{K}}{\sigma\sqrt{T t}} + (r\pm\frac{\sigma^2}{2})\sqrt{T t}\derecho) $$

y

$$C_t = \left(S_t-e^{-r(T-t)}K\derecho)\cdot\mathcal{N}(d+) + e^{-r(T-t)}K\cdot\left(\mathcal{N}(d+)-\mathcal{N}(d-)\right)$$

que puede ser reescrita como

$$C_t = \left(S_t-e^{-r(T-t)}K\derecho)\cdot\mathcal{N}(d+) + \frac{e^{-r(T-t)}K}{\sqrt{2\pi}}\int_{d}^{(d-)+\sigma^2\sqrt{T t}} e^{-\frac{z^2}{2}}\, dz$$

En primer lugar, darse cuenta de que $z \mapsto e^{-\frac{z^2}{2}}$ es delimitado en $\mathbb{R}$, podemos deducir que el segundo término va a $0$ como $t$ va $T$ debido a que el intervalo de integración se convierte arbitrariamente pequeño.

Por lo que la convergencia de $C_t$ está determinado por el de la primer término que tiene diferentes límites dependiendo de $S_T/K$:

• si $S_T > K$, entonces $\ln\frac{S_T}{K} > 0$ y $\lim d+ = \infty$, entonces $\lim C_t = \left(S_T - K\derecho)\cdot\mathcal{N}(\infty) = S_T - K$
• si $S_T < K$, entonces $\ln\frac{S_T}{K} < 0$ y $\lim d+ = -\infty$, entonces $\lim C_t = \left(S_T - K\derecho)\cdot\mathcal{N}(-\infty) = 0$
• si $S_T = K$, entonces $S_t$ va $K$, y recordando que $\mathcal{N}$ está delimitado por $0$ y $1$, tenemos $\lim C_t = 0$