Lógica del ratio de sharpe

Question

Tengo una confusión respecto a cómo se obtiene el ratio de sharpe. Mi pregunta es ¿por qué el denominador contiene la desviación estándar de los rendimientos de la cartera? Quiero decir, ¿por qué alguien llegó a esta conclusión y cómo eliminó las posibilidades de que no se eleve a alguna potencia?

Answer 1

Otra interpretación intuitiva del ratio de Sharpe es como relación señal/ruido : $$\frac{\mu}{\sigma}$$ donde se compara la fuerza de la señal (= rendimiento) con el nivel de ruido (= riesgo).

Cuanto más grande sea este ratio, mejor: o tienes más rendimiento (= señal) o tienes menos riesgo (= ruido).

Answer 2

La gente calcula el ratio de Sharpe porque tiene algunas propiedades útiles.

Si se aumenta el apalancamiento de una estrategia, el ratio de Sharpe sigue siendo el mismo

Dejemos que $R$ sea la vuelta a alguna estrategia. Y dejemos que $R_f$ sea el tipo libre de riesgo. El ratio de Sharpe de la rentabilidad $R$ está dada por:

$$ \frac{\operatorname{E}[R - R_f]}{\sigma(R - R_f)} $$

Ahora imaginemos que ejecutamos la estrategia pero con $5 \times$ de la palanca. ¿Qué es el ratio de Sharpe?

$$ \frac{\operatorname{E}[5R - 5R_f]}{\sigma(5R - 5R_f)} =\frac{5\operatorname{E}[R - R_f]}{5\sigma(R - R_f)} = \frac{\operatorname{E}[R - R_f]}{\sigma(R - R_f)} $$

Es lo mismo. Tanto el exceso de rendimiento esperado como la desviación estándar del exceso de rendimiento aumentan linealmente en el apalancamiento, por lo que el ratio sigue siendo el mismo.

Esta es una bonita propiedad. Se puede aumentar la rentabilidad esperada de una estrategia incrementando el apalancamiento, pero no se puede aumentar el ratio de Sharpe.

Por otro lado...

El ratio de Sharpe NO es invariable al horizonte temporal

Si se cambia entre rendimientos diarios, mensuales o anuales, ¡el ratio de Sharpe cambiará! Corolario: para comparar con sentido los ratios de Sharpe, todo debe estar en las mismas unidades de tiempo.

Para simplificar, vamos a suponer que cada período de tiempo es independiente e idénticamente distribuido (IID). Sea $R^d- R_f^d$ sea el exceso de rentabilidad de un solo día. El ratio de Sharpe para la frecuencia diaria sería:

$$ \frac{\operatorname{E}[R^d- R_f^d]}{\sigma [R^d- R_f^d]}$$

Si tuviéramos una devolución mensual $R^m$ que es la suma de 21 rendimientos diarios del IID, tendríamos:

• $\operatorname{E}[R^m- R_f^m] = 21 \operatorname{E}[R^d- R_f^d]$
• $\sigma^2 [R^m- R_f^m] = 21 \sigma^2 [R^d- R_f^d]$
• $\sigma [R^m- R_f^m] = \sqrt{21} \sigma [R^d- R_f^d]$

Por lo tanto, $ \frac{\operatorname{E}[R^m- R_f^m]}{\sigma [R^m- R_f^m]} = \sqrt{21} \frac{\operatorname{E}[R^d- R_f^d]}{\sigma [R^d- R_f^d]} $ .

Por otra parte, la relación $\frac{\mu}{\sigma^2}$ La rentabilidad esperada dividida por la varianza, para un exceso de rentabilidad es invariante al horizonte temporal (pero no invariante al apalancamiento). Como señaló @noob2, hay numerosas fórmulas en finanzas en las que $\frac{\mu}{\sigma^2}$ sale en las matemáticas.

Answer 3

¿Qué significaría comparar la rentabilidad con una potencia de la desviación estándar diferente de 1? Tenga en cuenta que la desviación típica se expresa en las mismas unidades que la rentabilidad. Supongamos que se tiene un rendimiento en dólares, entonces la desviación típica también está en dólares. Pero la variación es en dólares al cuadrado, por no hablar de otras potencias.

Pero piense también en las distribuciones, en particular en la distribución normal. Seguro que ha aprendido la regla de que el 68% de los rendimientos se encuentran entre "rendimiento medio-desviación estándar" y "rendimiento medio+desviación estándar", el 95% se encuentran entre "rendimiento medio-2*desviación estándar" y "rendimiento medio+2*desviación estándar", etc. La desviación estándar es la medida natural para su dispersión en los valores posibles con respecto a la rentabilidad media.

Por lo tanto, es natural considerar una relación entre la rentabilidad y la desviación estándar y tratar de maximizarla. Se interpreta como la maximización de la rentabilidad con respecto al riesgo.

Answer 4

Haciendo eco, @Raskolnikov, se trata de dimensiones/unidades.

El ratio de Sharpe es una medida del exceso de rendimiento esperado por unidad de riesgo. Para que sea una cantidad normalizada que pueda compararse entre diferentes activos/carteras/etc... es mejor que sea un ratio adimensional.

Por lo tanto, utilizamos la desviación estándar ya que es una cantidad útil que cumple el requisito y se calcula fácilmente.

Estoy de acuerdo en que no es la única medida que podríamos utilizar, podríamos calcular una variabilidad (o volatilidad como hablamos en finanzas en general) de los rendimientos utilizando una medida diferente (es decir, diferentes supuestos sobre la distribución subyacente de los rendimientos). Sin embargo, el ratio de Sharpe (y el resto de la familia de medidas similares) ha evolucionado hasta convertirse en el estándar y, por tanto, en la medida para la que la mayoría de los profesionales tienen una buena intuición.

Answer 5

Mira de nuevo el ratio de Sharpe. Se deriva bajo el supuesto de que todos los parámetros son conocidos. Como tal, es una herramienta frecuentista. En realidad, no está restringida para que el tipo libre de riesgo sea el tipo de referencia. Técnicamente, cualquier tipo podría ser el tipo de referencia. Es una distancia esperada escalada por la variabilidad natural. Es decir, es la prueba z. Por supuesto, como no se conoce la varianza, en la práctica es la prueba t.

Es una cantidad pivotante de la gaussiana, por lo que no hay ninguna otra potencia ni nada por el estilo. La dificultad es que existe una prueba de que este método no puede funcionar a menos que los parámetros sean realmente conocidos con probabilidad uno.

El método se desmorona porque la ecuación básica de rentabilidad de una inversión no tiene solución no bayesiana. Es decir $$w_{t+1}=Rw_t+\epsilon_{t+1}, R>1,$$ sólo tiene un estimador perfectamente ineficiente de la media y a través de la media, la varianza también es perfectamente imprecisa. Simplificando, a medida que el tamaño de la muestra llega al infinito, la precisión de las estimaciones llega a cero. Esto crea la aparente paradoja de que la relación de Sharpe sólo es precisa hasta tamaños de muestra de dos.

Esto no es bien conocido en la literatura.

Lo más interesante es que el estimador bayesiano no se parece en nada al estimador frecuentista. Está claro que no apuntan al mismo valor. Sin embargo, por el Teorema de la Clase Completa de Wald, es necesariamente cierto que el estimador frecuentista es un estadístico inadmisible. La solución frecuencial, el ratio de Sharpe, está fuera de la clase completa de soluciones válidas, a menos que sea cierto que todos los usuarios conocen realmente los verdaderos valores de los parámetros.