Estoy tratando de demostrar la necesidad de una convexidad de ajuste a una velocidad de avance mediante el cálculo de la siguiente expectativa:
\begin{align*} P(t_0, T_s)E^{T_s}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\big). \end{align*}
Donde $E^{T_s}$ denota la expectativa en virtud de un T-medir con $P(t,T_s)$ como numéraire y $t_0< T_s < T_e $ y $L(T_s, T_s, T_e)$ es la tasa libor observado en $T_s$ para el período comprendido entre $T_s$ y $T_e$
Para hacerlo me gustaría aplicar un cambio de la medida para que yo pueda calcular la expectativa de menores de un T*-medir con $P(t,T_e)$ como numéraire.
Sé que para hacer este cambio de la medida necesito saber el Radon-Nikodym derivados, por lo que necesito algo como esto:
\begin{align*} P(t_0, T_s)E^{T_s}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\big)=P(t_0, T_s)E^{T_e}\big(\frac{dQ^{T_s}}{dQ^{T_e}}L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\big) \end{align*} ¿Cómo puedo saber qué valor de $\frac{dQ^{T_s}}{dQ^{T_e}}$ cambios $P^{T_s}$ a $P^{T_e}$?
Por lo que he visto hasta ahora, el Radon-Nikodym derivada es fácil de conseguir cuando se tiene la distribución en virtud de la cual usted está tratando de calcular la expectativa. Por ejemplo, si $X \sim N(0,1)$ con función de densidad de $f(x)$ I se puede calcular $E[X]$ la habitual manera integral, o puedo introducir una medida que $G$, donde $g(x)$ puede ser la función de densidad de decir $X \sim N(0,100)$ y sería el mismo si puedo calcular $E_g[X\frac{f(x)}{g(x)}]$ así que aquí mi Radon-Nikodym derivada es la división de dos funciones de densidad. He visto diferentes publicaciones en donde este se utiliza para pasar de una medida a otra, pero todavía no me parecen entender cómo usted sabe qué valor de uso para cada caso, especialmente en el caso de que me estoy preguntando ahora ya no estoy seguro de las funciones de densidad que debo utilizar.
La única cosa que se cruzan por mi mente es que $L(T_s, T_s, T_e)$ es una martingala bajo $P^{T_e}$. Así que tal vez debería asignar esta dinámica de $dL(t, T_s, T_e) = \sigma_s L(t, T_s, T_e) d W_t^s$ desde allí se puede obtener una función de densidad que sería como el $g(x)$ en mi ejemplo. Luego si puedo encontrar cómo $L(T_s, T_s, T_e)$ dinámicas están por debajo de los $P^{T_s}$ tal vez podría conseguir el $f(x)$ y la división sería mi Radon-Nikodym?
Mucho ayuda apreciada
