Ho y Lee el rendimiento de ajuste de curvas con bono cupón cero de los precios de mercado

Question

La Ho y Lee modelo para las tasas de interés está dado por la SDE: $$ \mathrm d r = \eta(t) \mathrm d t + c\,\mathrm d X $$ La función de calibración para $\eta(t)$ es dada por $$ \eta^*(t)=c^2(t-t^*)-\frac{\partial^2}{\partial t^2}\operatorname{log}(Z_M(t^*;t)) $$ donde $Z_M(t^*, t)$ son los factores de descuento en el mercado a partir de hoy $= t^*$ a vencimiento $t$ (Fuente: Paul Wilmott en Finanzas Cuantitativas, p. 526).

El plazo $\frac{\partial^2}{\partial t^2}\operatorname{log}(Z_M(t^*;t))$ me confunde.

Tengo un conjunto de factores de descuento $Z_M$, que son números (por ejemplo, $Z_M(0;\,0.5)=0.99750, Z_M(0;\,1)=0.989060)$.

Así, el $\operatorname{log}Z_M$ es también un número.

¿Cómo puedo calcular la derivada parcial $\frac{\partial^2}{\partial t^2}\operatorname{log}(Z_M(t^*;t))$ de un número?

EDIT: Mi comprensión actual es que tengo que usar algún método de interpolación que es dos veces derivable (por ejemplo de interpolación spline), utilizando los factores de descuento como puntos de apoyo. Podría ser esto correcto?

Answer 1

Cuando no hay forma funcional está disponible en el análisis diferencial, entonces uno debe utilizar un método de cálculo. Como Daneel comentarios común computacional aproximación de segundo orden derivados pueden ser obtenidos mediante diferencias finitas.

Por ejemplo, si suponemos que los puntos que usted tiene disponibles para su descuento de los factores de $Z_M$ están igualmente espaciados, con la brecha de $\Delta t$ , a continuación, se obtiene la siguiente aproximación a través de la segunda orden central método de diferencias finitas:

$ \eta^*(t) = c^2(t) - \frac{\partial^2}{\partial t^2}\log(Z_M(0;t))$

$ \aprox c^2(t) - \frac{\log(Z_M(0;t+\Delta t))-2\log(Z_M(0;t))+\log(Z_M(0;t-\Delta t))}{(\Delta t)^2}$

Yo no la primera adaptación de una interpolación y luego se diferencian como no he visto que se utiliza en la práctica. Me gustaría evaluar qué método de diferencias finitas es el más apropiado y el uso que.