¿Los altos niveles del parámetro vol-of-vol en SABR conducen al arbitraje? (Algo parece estar mal en la fórmula de Hagans)

Question

La pregunta principal: ¿Necesitamos restringir el parámetro vol-of-vol en SABR más allá de $\text{vol-of-vol}>0$ ¿y cómo determinamos el intervalo de vol-vol que el modelo está libre de arbitraje?

Antecedentes

Considere un modelo SABR y un activo con precio de tiempo 0 en $S_0=1$ . Digamos que queremos los precios de las opciones de compra a 1 año ( $T= 1$ ) y la tasa es cero $r = 0$ . Con los parámetros SABR mostrados en la figura obtenemos esto:

El parámetro vol-vol es extremadamente alto en 7 (proceso improbable, lo sé.) Pero este precio conducirá totalmente al arbitraje porque la llamada con strike 1.15 es más cara que la llamada con strike 110.

Ya he revisado innumerables documentos sobre SABR y nadie menciona este problema. ¿Que en algún momento un mayor vol-vol podría llevar al arbitraje?

Información

Los precios de las opciones de compra se calculan de forma que

• He utilizado la fórmula de Hagan para calcular el vol implícito
• He puesto el vol implícito en la fórmula de fijación de precios de Black Scholes como la volatilidad

Por ejemplo: $IV = HAGAN(k=1.15; \sigma_0,\beta,\rho,vol-vol) = 1.93$

$$BS_{call} = (\sigma = IV ; ....) = 0.6425$$

Answer 1

El modelo SABR en sí mismo está libre de arbitraje incluso para volúmenes altos. La cuestión es si la fórmula de Hagan et al para la volatilidad implícita bajo el modelo SABR está libre de arbitraje - en realidad no lo está. Para los strikes muy bajos el arbitraje puede ocurrir usando la fórmula de Hagan et al para la volatilidad implícita, y quizás también para vol muy alto de vol.

Pregunta: ¿cómo sabe que la opción de compra con strike 115 es más cara que la opción de compra con strike 110? El gráfico de arriba sólo muestra el IV para diferentes strikes. Tal vez puedas publicar una tabla con los precios correspondientes.

Answer 2

Puedo confirmar que no hay ningún error en el gráfico de @Sanjay. Obtengo el mismo gráfico con la corrección de Obloj para la fórmula SABR.

De hecho, las fórmulas populares de aproximación SABR (Hagan o las correcciones posteriores) utilizan como hipótesis un pequeño vol de vol. En su caso, el vol de vol $\nu$ es muy grande ( $\nu=7$ ) y no es demasiado sorprendente que las aproximaciones se rompan.

Como menciona @ilovevolatility, esto no es un problema del modelo SABR, sino de la aproximación SABR elegida.

A continuación se muestra un ejemplo en el que el método de diferencias finitas SABR sin arbitraje de Le Floc'h & Kennedy y una aproximación SABR más reciente de Hagan (2014) .

$\nu=7$ para diferentes métodos">

La fórmula de Obloj da esencialmente la misma trama que la suya. Aquí se ve más plano debido a la escala. Si se amplía la imagen, se obtiene el siguiente gráfico