Dado variables aleatorias $Y_1, Y_2, ... \stackrel{iid}{\sim} P(Y_i = 1) = p = 1 - q = 1 - P(Y_i = -1)$ donde $p > p$ en un filtro de probabilidad espacio $(\Omega \mathscr F, \{\mathscr F_n\}_{n \in \mathbb N}, \mathbb P)$ donde $\mathscr F_n = \mathscr F_n^Y$,
definir $X = (X_n)_{n \ge 0}$ donde $X_0 = 0$ y $X_n = \sum_{i=1}^{n} Y_i$.
Se puede demostrar que el proceso estocástico $M = (M_n)_{n \ge 0}$ donde $M_n = X_n - n(p-q)$ es un $(\{\mathscr F_n\}_{n \in \mathbb N}, \mathbb P)$-martingala.
Deje que $b$ a ser un entero positivo y $T:= \inf\{n: X_n = b\}$.
Se puede demostrar que $T$ es $\{\mathscr F_n\}_{n \in \mathbb N}$-tiempo de parada.
Demostrar que $E[T] < \infty$.
Una proposición a utilizar es"Lo que siempre es una posibilidad razonable de que suceda será (casi seguramente) a pasar - más pronto que tarde"o aquí (prueba aquí)
Así que vamos a probar que $\exists N \in \mathbb N, \epsilon > 0$ s.t. $\forall n \in \mathbb N$,
$$P(T \le n + N | \mathscr F_n) > \epsilon$$
o el más débil condición de que $\exists N \in \mathbb N, \epsilon > 0$ s.t. $\forall n \in \mathbb N$,
$$P(T > kN) \le (1 - \epsilon)^k$$
He probado el primero:
$$P(T \le \infty | \mathscr F_n) = E(1_{T \le \infty} | \mathscr F_n) = \sum_{i=1}^{n} 1_{T=i} + \sum_{i=n+1}^{\infty} E[1_{T=i} | \mathscr F_n]$$
Por lo tanto, debemos encontrar y entero N y un número positivo $\epsilon$ s.t.
$$P(T \le n + N | \mathscr F_n) = E(1_{T \le n + N} | \mathscr F_n) = \sum_{i=1}^{n} 1_{T=i} + \sum_{i=n+1}^{n+N} E[1_{T=i} | \mathscr F_n] > \epsilon$$
donde $\forall i > n$,
$$E[1_{T=i} | \mathscr F_n] = P(T=i | \mathscr F_n)$$
$$= P(X_i = b, X_1, \ne b, X_2 \ne b, ..., X_n \ne b, ..., X_{i-1} \ne b | \mathscr F_n)$$
$$= \prod_{j=1}^{n} 1_{X_j \ne b} E[1_{X_i = b} \prod_{j=n+1}^{i-1} 1_{X_j \ne b} | \mathscr F_n]$$
Eso es todo lo que tengo. ¿Cómo puedo abordar este problema?
