Regresión con pesos

Question

Tengo una pregunta sobre la ponderación de las observaciones por su importancia.

Supongamos que estoy haciendo la siguiente regresión: $$log(y_{it}/y_{it-1})= \alpha + \sum_ {i=1}^{N} \gamma_ {i}Country_{i}+u_{i}$$ donde básicamente mi LHS es el crecimiento del PIB del país $i$ en el tiempo $t$ que retroceda en un conjunto completo de maniquíes de país (-1).
Quiero sopesar las observaciones por el PIB del país. Si estoy haciendo esto en la estadística, ¿qué pesos son apropiados? ¿Ponderaciones de frecuencia o ponderaciones de probabilidad? Mi intuición es que tengo que hacer básicamente una regresión de mínimos cuadrados ponderados de la forma: $$ \hat { \beta }=(x'Wx)^{-1}(x'Wy)$$

donde $W$ es una matriz diagonal con los pesos (PIB) en la diagonal. No sé cómo implementar esto en Stata. ¡Gracias!

Answer 1

Si revisa el archivo de ayuda de Stata en retroceso deberías entender cómo hacerlo. En particular, las páginas 16-7 tienen ejemplos específicos de cómo aplicar los pesos.

Lo editaré para ser más detallado.

gen lnyl1y=ln(y)-l1.ln(y)
xi: reg lnyl1y i.country [w=y]

Noten que si la regresión ponderada se hace dividiendo todos los valores para la observación $i$ por $ \sqrt {w_i}$ Entonces $$ \tilde {x} = \begin {pmatrix} \frac {x_{1,1}}{ \sqrt {w_1}} & \cdots & \frac {x_{1,k}}{ \sqrt {w_1}} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac {x_{n,1}}{ \sqrt {w_n}} & \cdots & \frac {x_{n,k}}{ \sqrt {w_n}} \end {pmatrix} $$ Llama a la matriz diagonal compuesta de $ \sqrt {w_i}$ en el $(i,i)$ elemento $ \sqrt {w}$ . Entonces, el estimador del WLS está dado por $$ \hat { \beta }_{WLS}= \left ( \tilde {x}' \tilde {x} \right )^{-1} \tilde {x}' \tilde {y}= \left [( \sqrt {w}x)' \sqrt {w}x \right ]^{-1}( \sqrt {w}x)'( \sqrt {w}y)=(x'Wx)^{-1}(xWy) $$ como $ \sqrt {w}' \sqrt {w}=W$ y $ \tilde {x}= \sqrt {w}x$ que es exactamente lo mismo que multiplicar cada fila de $X$ y $y$ por la cantidad de su peso (peso analítico, aquí $ \sqrt {w}$ ).

El asunto aquí es entender cómo su matriz se relaciona con la aplicación de los pesos y entender la conexión entre su fórmula y la que está en el archivo de ayuda. Para otras formas de calcular las regresiones ponderadas en relación con Stata, ver por ejemplo este documento