Los precios de las acciones son logarítmicos - Definición formal

Question

Estoy luchando con lo que el exactamente significado de "los precios de las acciones son lognormales" (y su uso para mostrar la normalidad de los rendimientos). Mi suposición era que, dado ${S_t}$ son los precios de las acciones y los rendimientos se definen como $r_t = \frac{S_t-S_{t-1}}{S_{t-1}}$ , entonces suponemos que $S_t$ es lognormal, y entonces

$$\log(1+r_t)=\log\left(\frac{S_{t-1}+S_t-S_{t-1}}{S_{t-1}}\right)=\log\left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right)=\log(S_t)-\log(S_{t-1}) \tag{1}$$

Como esto sería la suma de dos variables normales, el resultado es normal, y eso nos permite mostrar $\log(1+r_t)$ es normal.

Sin embargo, estaba leyendo lo siguiente enlace :

En él, el autor afirma (he sustituido su notación por la mía para facilitar la comparación):

Si suponemos que los precios se distribuyen con normalidad logarítmica (lo que, en la práctica, puede ser cierto o no para cualquier serie de precios), entonces $\log(1+r_i)$ se distribuye convenientemente de forma normal, porque:

$$1+r_i=\frac{S_{t}}{S_{t-1}}=\exp\left(\log\left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right)\right)\tag{2}$$ .

A partir de las definiciones de lognormal, para que el término interior del lado derecho (es decir $\log\left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right)$ ) para ser normal, necesitaríamos $1-r_i$ sea lognormal. Pero eso me parece diferente a "los precios son lognormales". La siguiente validación cruzada responder tiene un poco más de sentido, concretamente la parte ii), en la que se menciona la lognormalidad condicional, o que el supuesto de normalidad logarítmica en los precios suele referirse a $\frac{S_t}{S_{t-1}}$ y eso satisfaría la ecuación 2.

Así que, para resumir, ¿cuál es la forma correcta de definir el supuesto de lognormalidad en los precios? Mis disculpas si simplemente estoy pensando demasiado las cosas. Gracias.

Answer 1

En realidad, ni los precios de las acciones se distribuyen de forma log-normal ni los rendimientos se distribuyen normalmente. Los modelos más sofisticados abandonan este supuesto. Por ejemplo, los rendimientos tienen más picos y colas más gruesas de lo que sugeriría una distribución normal.

Sin embargo, en modelos sencillos, como el de Black y Scholes (1973), se supone que el precio de las acciones satisface la SDE $\frac{\mathrm{d}S_t}{S_t}=\mu \mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W_t$ lo que significa que los cambios en el precio de las acciones son proporcionales a su precio actual - esto es bastante razonable e implica directamente que los rendimientos instantáneos $\frac{\mathrm{d}S_t}{S_t}=\mathrm{d}\ln(S_t)$ se distribuyen normalmente.

En su cita, $S_t$ está distribuido de forma log-normal y también lo está $\frac{S_t}{S_{t-1}}$ lo que implica que $1+r_t$ también tiene una distribución log-normal. Por lo tanto, $\ln(1+r_t)$ se distribuye de forma normal, tal y como se afirma.

Históricamente, se consideraron primero los precios con distribución normal (modelos como el movimiento browniano aritmético), pero Samuelson introdujo el movimiento browniano geométrico para evitar la negatividad. Black y Scholes se basaron en esta idea. Así, los precios son siempre positivos, pero los rendimientos pueden ser negativos.

Obsérvese que tanto el precio de las acciones como sus rendimientos son procesos estocásticos y, por tanto, " $S_t$ está distribuida log-normalmente" significa realmente que la variable aleatoria $S_t(\omega)$ sigue una distribución logarítmica normal para cada punto de tiempo fijo $t>0$ .

Answer 2

Los precios de las acciones no pueden ser negativos, lo que significa que no se distribuyen normalmente debido a que no pueden ser negativos, por lo que los precios de las acciones se comportan de forma similar a las funciones exponenciales. Para volver a transformar estos valores exponenciales en una variable de distribución normal, es necesario tomar el logaritmo natural, y por lo tanto puede tomar un valor y una distribución lognormal.