Ayuda para entender la expresión del descuento continuo

Question

En la nota 3 de su documento " La amplitud de las patentes, la duración de las mismas y el ritmo del progreso tecnológico ", O'Donoghue Scotchmer y Thisse toman una tasa de descuento de $r$ y escribir

Si el flujo de beneficios $\Delta$ dura para la duración $t$ el beneficio descontado es $\Delta(1 e^{rt})/r$ .

¿Puede alguien explicar dónde está la expresión $\Delta(1 e^{rt})/r$ ¿procede?

Aunque estoy familiarizado con el descuento en tiempo continuo, nunca lo había visto formulado de esta manera. Normalmente esperaría que la expresión del beneficio descontado fuera $\Delta e^{-rt}$ .

Answer 1

De tiempo $0$ al tiempo $t$ el flujo de beneficios es constante $\Delta$ . El valor descontado del flujo de beneficios de cualquier instancia $s$ es $\Delta \cdot e^{-r s}$ . Para obtener el beneficio total descontado necesitaremos la integral de este de $0$ a $t$ : $$ \int_0^t \Delta \cdot e^{-r s} \ ds = \left. \frac{\Delta \cdot e^{-r s}}{-r} \right]_0^t = \frac{\Delta \cdot e^{-r t}}{-r} - \frac{\Delta \cdot e^{-r \cdot 0}}{-r} $$ Y como $e^{-r \cdot 0} = e^0 = 1$ Esto es $$ - \frac{\Delta \cdot e^{-r t}}{r} + \frac{\Delta \cdot 1}{r} = \Delta \cdot \frac{1 -e^{-r t}}{r}. $$