Pregunta sobre la relación entre el axioma débil y la matriz de Slutsky

Question

Sabemos que si una función de demanda walrasiana diferenciable $x(p,w)$ cumple la ley de Walras ( $p^Tx=w$ ), la homogeneidad de grado cero ( $x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w)$ ), y el axioma débil de la preferencia revelada, entonces en cualquier $(p,w)$ la matriz Slutsky \begin {ecuación} S(p,w)=D_px(p,w)+D_wx(p,w)x(p,w)^T \end {Ecuación} es semidefinido negativo.

Mi pregunta es: si $S(p,w)$ es semidefinida negativa, entonces qué podemos decir de la función de demanda $x(p,w)$ ? ¿Podemos concluir que $x(p,w)$ satisface el axioma débil?

Answer 1

Es casi cierto.

Hay ejemplos de demanda que tienen una matriz de Slutsky definida negativa pero que no cumple el Axioma Débil.

Sin embargo, si pedimos que $$v \cdot S(p,w) v <0 $$ siempre que $v \not = \alpha p$ para cualquier escalar $\alpha$ (es decir $S$ es negativa definida para todos los vectores excepto los proporcionales al precio), entonces se cumple el Axioma Débil.