Densidad de la BM geométrica mediante Fokker-Planck

Question

Intentar derivar la densidad de un GBM (que sabemos que es logarítmico-normal) por la vía larga, utilizando la ecuación de Fokker Planck. No consigo averiguar en qué me he equivocado, ¡apreciaría un par de ojos adicionales!

GBM: $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$

Dejemos que $p(t,T,x,y) = \mathbb{P}(S(T) = y|S(t) = x)$ sea la densidad de transición para $S_t$ para lo cual sabemos \begin {alinear} p(0,T,x,y) = \frac {1}{y \sigma \sqrt {2 \pi T}} \exp\left (- \frac {1}{2} \left ( \frac { \log (y) - \left ( \log (x) + ( \mu - \frac { \sigma ^2}{2})T \right )}{ \sigma \sqrt {T}} \right )^2 \right ). \end {align}

Me gustaría derivar este resultado utilizando el hecho de que $p$ (visto como $p(T,y)$ ) satisface la EDP de Fokker Planck

\begin {align*} \frac { \partial p}{ \partial T} & = - \frac { \partial }{ \partial y}( \mu yp) + \frac { \partial ^2}{ \partial y^2} \left ( \frac {1}{2} \sigma ^2 y^2 p \right ) \\ & = - \mu \left (p + y \frac { \partial p}{ \partial y} \right ) + \frac {1}{2} \sigma ^2 \left (2p + 4y \frac { \partial p}{ \partial y} + y^2 \frac { \partial ^2 p}{ \partial y^2} \right ) \\ & = \frac { \sigma ^2 y^2}{2} \frac { \partial ^2 p}{ \partial y^2} + (2 \sigma ^2 - \mu )y \frac { \partial p}{ \partial y} + ( \sigma ^2 - \mu )p. \end {align*}

Para resolver esta EDP, primero la transformo en un problema de coeficiente constante utilizando el cambio de variables $w = \log y$ Así que $\frac{\partial p}{\partial y} = \frac{\partial p}{\partial w}\frac{1}{y}$ y $\frac{\partial^2 p}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 p}{\partial w^2}\frac{1}{y^2} - \frac{\partial p}{\partial w} \frac{1}{y^2}$ , dando

\begin {align*} \frac { \partial p}{ \partial T} & = \frac { \sigma ^2}{2} \left ( \frac { \partial ^2 p}{ \partial w^2} - \frac { \partial p}{ \partial w} \right ) + (2 \sigma ^2 - \mu ) \frac { \partial p}{ \partial w}+ ( \sigma ^2 - \mu )p \\ & = \frac { \sigma ^2}{2} \frac { \partial ^2 p}{ \partial w^2} + \left ( \frac {3 \sigma ^2}{2} - \mu\right ) \frac { \partial p}{ \partial w} + ( \sigma ^2 - \mu )p. \end {align*}

Toma la transformada de Fourier para convertir esto en una EDO: \begin {align*} \frac { \partial \hat {p}}{ \partial T} & = - \frac { \sigma ^2 \omega ^2}{2} \hat {p} + i \omega\left ( \frac {3 \sigma ^2}{2} - \mu\right ) \hat {p} + ( \sigma ^2 - \mu ) \hat {p} \\ \hat {p} & = \hat {p}_0 \exp\left (( \sigma ^2 - \mu )T \right ) \exp\left (- \frac { \sigma ^2 \omega ^2}{2}T + i \omega\left ( \frac {3 \sigma ^2}{2} - \mu\right )T \right ) \end {align*} donde la transformación que estoy usando es $$ \mathcal{F}[f](\omega) = \int_{-\infty}^\infty e^{-i \omega x} f(x) dx. $$ Desde $$ \mathcal{F}\left[\frac{1}{s \sqrt{2\pi}} \exp\left(\frac{1}{2}\left(\frac{w - m}{s}\right)^2\right)\right](\omega) = \exp(-i\omega m - \omega^2s^2/2), $$ con $m = -\left(\frac{3\sigma^2}{2} - \mu\right)T$ y $s = \sigma \sqrt{T}$ vemos que \begin {align*} \hat {p} & = \hat {p}_0 \exp\left (( \sigma ^2 - \mu )T \right ) \mathcal {F} \left [ \frac {1}{ \sigma \sqrt {2 \pi T}} \exp\left (- \frac {1}{2} \left ( \frac {w - \left ( \mu - \frac {3 \sigma ^2}{2} \right )T}{ \sigma \sqrt {T}} \right )^2 \right ) \right ]. \end {align*} Ahora, como $\mathcal{F}[f \ast g] = \mathcal{F}[f] \mathcal{F}[g]$ y $p_0 = p(0,w) = \delta(w - w_0)$ , \begin {align*} p(T,w) & = \exp\left (( \sigma ^2 - \mu )T \right ) \frac {1}{ \sigma \sqrt {2 \pi T}} \exp\left (- \frac {1}{2} \left ( \frac {w - w_0 - \left ( \mu - \frac {3 \sigma ^2}{2} \right )T}{ \sigma \sqrt {T}} \right )^2 \right ). \end {align*} Finalmente, volviendo a cambiar $w \to \log y$ obtenemos la supuesta solución \begin {align*} p(T,y) & = \exp\left (( \sigma ^2 - \mu )T \right ) \frac {1}{ \sigma \sqrt {2 \pi T}} \exp\left (- \frac {1}{2} \left ( \frac { \log (y) - \left ( \log (y_0) + \left ( \mu - \frac {3 \sigma ^2}{2} \right )T \right )}{ \sigma \sqrt {T}} \right )^2 \right ), \end {align*} que no es la densidad lognormal como la anterior.

Answer 1

Hola bcf: Esta es una buena pregunta. Como ha señalado más abajo, \begin {align*} p_0 &= \delta (y-y_0) \\ &= \delta (e^w-y_0). \end {align*} Entonces, \begin {align*} p_0 * g &= \int_ {- \infty }^{ \infty } \delta (e^z-y_0) g(w-z) dz \\ &= \int_ {0}^{ \infty } \delta (u-y_0) g(w- \ln u) \frac {1}{u}du \\ &= \frac {1}{y_0}g(w- \ln y_0). \end {align*} En consecuencia, su última igualdad se convierte en \begin {align*} p(T,y) &= \frac {1}{y_0} \exp\big (( \sigma ^2 - \mu )T \big ) \frac {1}{ \sigma \sqrt {2 \pi T}} \exp\bigg (- \frac {1}{2} \bigg ( \frac { \ln y - \big [ \ln y_0 + \big ( \mu - \frac {3 \sigma ^2}{2} \big )T \big ]}{ \sigma \sqrt {T}} \bigg )^2 \bigg ) \end {align*} Dejemos que $Z= \ln y - \big[\ln y_0 + \big(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\big)T\big]$ . Entonces, \begin {align*} p(T,y) &= \frac {1}{y_0} \exp\big (( \sigma ^2 - \mu )T \big ) \frac {1}{ \sigma \sqrt {2 \pi T}} \exp\bigg (- \frac {1}{2} \bigg ( \frac { \ln y - \big [ \ln y_0 + \big ( \mu - \frac {3 \sigma ^2}{2} \big )T \big ]}{ \sigma \sqrt {T}} \bigg )^2 \bigg ) \\ &= \frac {1}{y_0} \exp\big (( \sigma ^2 - \mu )T \big ) \frac {1}{ \sigma \sqrt {2 \pi T}} \exp\bigg (- \frac {1}{2} \bigg ( \frac { \ln y - \big [ \ln y_0 + \big ( \mu - \frac { \sigma ^2}{2} \big )T \big ]}{ \sigma \sqrt {T}} + \sigma \sqrt {T} \bigg )^2 \bigg ) \\ &= \frac {1}{y_0} \exp\big (( \sigma ^2 - \mu )T \big ) \frac {1}{ \sigma \sqrt {2 \pi T}} \exp\bigg (- \frac {1}{2} \bigg ( \frac {Z}{ \sigma \sqrt {T}} + \sigma \sqrt {T} \bigg )^2 \bigg ) \\ &= \frac {1}{y_0} \exp\big (( \sigma ^2 - \mu )T \big ) \frac {1}{ \sigma \sqrt {2 \pi T}} \exp\bigg (- \frac {1}{2} \bigg ( \frac {Z}{ \sigma \sqrt {T}} \bigg )^2 - Z - \frac { \sigma ^2}{2}T \bigg ) \\ &= \frac {1}{y_0} \frac {1}{ \sigma \sqrt {2 \pi T}} \exp\bigg (- \frac {1}{2} \bigg ( \frac {Z}{ \sigma \sqrt {T}} \bigg )^2 + \ln y_0 - \ln y \bigg ) \\ &= \frac {1}{y \sigma \sqrt {2 \pi T}} \exp\bigg (- \frac {1}{2} \bigg ( \frac { \ln y - \big [ \ln y_0 + \big ( \mu - \frac { \sigma ^2}{2} \big )T \big ]}{ \sigma \sqrt {T}} \bigg )^2 \bigg ). \end {align*} Esta es la densidad de transición que proporcionó anteriormente.