Derivación del lema de Ito

Question

Me estoy introduciendo en la fijación de precios de los activos y estaba mirando el Lemma de Ito, pero no puedo entender algunos pasos que se dan.

El Lemma de Ito establece que dado

$$dx_t = \mu dt + \sigma dz_t \\ y_t = f(t, x_t)$$

entonces

$$(1) \quad dy_t = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dx_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dx^2_t \\$$

Entiendo esta parte utilizando la regla de la cadena y una expansión de Taylor de segundo orden, de la segunda ecuación. No entiendo por qué entonces se sostiene lo siguiente:

$$(*) \quad dy_t = \left[\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \mu + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \sigma^2 \right] dt + \left[ \frac{\partial f}{\partial x} \sigma \right] dz_t \\$$

Cuando sustituyo en $dx_t$ en $(1)$ y utilizar el hecho de que $dz^2_t = dt$ no es suficiente para llegar a $(*)$ . Creo que $dx^2_t$ puede interpretarse literalmente como $(dx_t)^2$ pero si hay una mejor manera de manejar ese término, cualquier orientación al respecto sería apreciada.

Answer 1

$$dx_t = \mu dt + \sigma dz_t \\ y_t = f(t, x_t)$$

Una idea clave aquí es que $\left( dx_t \right)^2=\left( \ldots \right)dt^2 + \left(\ldots\right) dzdt + \sigma^2 dz_t^2 = \sigma^2 dt$ . El razonamiento suelto es que $\left( dz_t\right)^2 = dt$ y todos los demás términos (es decir $dt^2$ y $dz\, dt$ ) son infinitamente más pequeño que $dt$ .

Intuición horriblemente floja para $dz_t^2 = dt$ es que $dz_t$ se distribuye normalmente con varianza $dt$ y, por tanto, la expectativa del cuadrado de $dz_t$ es $dt$ .

En cualquier caso, tenemos entonces:

\begin {align*} \quad dy_t &= \frac { \partial f}{ \partial t} dt + \frac { \partial f}{ \partial x} dx_t + \frac {1}{2} \frac { \partial ^2 f}{ \partial x^2} dx^2_t \\ &= \frac { \partial f}{ \partial t} dt + \frac { \partial f}{ \partial x} \left ( \mu dt + \sigma dz_t \right )+ \frac {1}{2} \frac { \partial ^2 f}{ \partial x^2} \sigma ^2 dt \\ &= \left ( \frac { \partial f}{ \partial t} + \frac { \partial f}{ \partial x} \mu + \frac {1}{2} \frac { \partial ^2 f}{ \partial x^2} \sigma ^2 \right ) dt + \left ( \frac { \partial f}{ \partial x} \right ) \sigma dz_t \end {align*}

Que es el lema de Ito.

Answer 2

Tal vez tu fórmula de Itô esté equivocada. Mira:

http://www.columbia.edu/~mh2078/stochastic_calculus.pdf

En la página 6 se encuentra el lema de Itôs. No tienes que interpretar $dx_t^2$ como $(dx_t)^2$ . El $dx_t^2$ parte en su fórmula es de hecho $(dx_t)^2$ .