La comprensión de la derivación de una ML-estimador de

Question

Estoy tratando de entender la derivación de una ML-estimador y, más específicamente, la reescritura de la matriz de covarianza de Sigma. En esta reescritura de un lexema se usa para mostrar que

$$(1) \hspace{1,4 cm}\Omega=\sigma^2_{c}\boldsymbol{1}\boldsymbol{1'} + \sigma^2_{\varepsilon}I_T=(\sigma^2_{\varepsilon}+T\sigma^2_{c})\boldsymbol{1}(\boldsymbol{1}'\boldsymbol{1})^{-1}\boldsymbol{1}'+\sigma^2_{\varepsilon}(I_T- \boldsymbol{1}(\boldsymbol{1}'\boldsymbol{1})^{-1}\boldsymbol{1}')$$ $$\Omega^{-1}=\frac{1}{\sigma^2_{\varepsilon}+T\sigma^2_{c}}\boldsymbol{1}(\boldsymbol{1}'\boldsymbol{1})^{-1}\boldsymbol{1}'+\frac{1}{\sigma^2_{\varepsilon}}(I_t-\boldsymbol{1}(\boldsymbol{1}'\boldsymbol{1})^{-1}\boldsymbol{1}')$$ $$|\Omega|=(\sigma^2_{\varepsilon}+T\sigma^2_{c})\sigma^{{2(T-1)}}_{\varepsilon}$$

El Lema de los estados:

¿Alguien puede explicar la segunda igualdad en (1)?

Answer 1

Estoy de acuerdo con vanguard2k comentario: más detalles sobre la notación sería de gran ayuda. Pero, como lo que puedo decir, la segunda igualdad es una simple expansión.

En primer lugar, $\mathbf{1}'\mathbf{1} = T$ (suponiendo que los vectores son elementos de $\mathbb{R}^T$). La expresión $\mathbf{1} (\mathbf{1}'\mathbf{1})^{-1} \mathbf{1}'$ es, por tanto, nada más que $T\times T$ matriz con $\frac{1}{T}$ en cada elemento.

Supongo que escalar, además de una matriz en realidad significa que una matriz por el escalar como cada elemento es agregado, es decir, que $\sigma_c^2 + \sigma_{\epsilon}^2 \mathbf{I}_T := \sigma_c^2 \mathbf{1}\mathbf{1}' + \sigma_{\epsilon}^2 \mathbf{I}_T$. Entonces, se puede escribir: $$\begin{align} \sigma_c^2 + \sigma_{\epsilon}^2 \mathbf{I}_T =&\ \sigma_c^2 T \frac{1}{T} \mathbf{1}\mathbf{1}' + \sigma_{\epsilon}^2 \mathbf{I}_T \\ =&\ T \sigma_c^2 \mathbf{1}(\mathbf{1}'\mathbf{1})^{-1} \mathbf{1}' + \sigma_{\epsilon}^2 \mathbf{I}_T + \sigma_{\epsilon}^2\mathbf{1}(\mathbf{1}'\mathbf{1})^{-1} \mathbf{1} - \sigma_{\epsilon}^2\mathbf{1}(\mathbf{1}'\mathbf{1})^{-1} \mathbf{1}' \\ =&\ (\sigma_{\epsilon}^2 + T \sigma_c^2) \mathbf{1}(\mathbf{1}'\mathbf{1})^{-1} \mathbf{1}' + \sigma_{\epsilon}^2 (\mathbf{I}_T - \mathbf{1}(\mathbf{1}'\mathbf{1})^{-1} \mathbf{1}') \end{align}$$