Prueba de la fórmula de Dupire

Question

Sólo tengo una pregunta para el comienzo de una prueba:

Supongamos que $\frac{dS_{t}}{S_{t}}=(r_{t}-q_{t})dt+\sigma(t,S_{t})dW_{t}$ con $r,q,S$ estocástico.

En el libro que leí, está escrito:

Definimos el precio Arrow-Debreu $\psi(x',y',z',t)$ como el valor actual de un derivado que se paga $\delta([S_{t},r_{t},q_{t}]-[x',y',z'])$ en el momento $t$ . Esto está relacionado con el $t$ -medida de avance densidad de probabilidad de $(x,y,z)$ , $\phi(x,y,z,t)$ por: $$\psi(x,y,z,t)=B(0,t)\ \phi(x,y,z,t)$$ como puede verse en la ecuación de definición de $\psi$ y $\phi$ : $V(S_{0},r_{0},q_{0},t=0)=\iiint V(x,y,z,t)\ \psi(x,y,z,t)\ dx\ dy\ dz$ y $V(S_{0},r_{0},q_{0},t=0)=B(0,t)\ \iiint V(x,y,z,t)\ \phi(x,y,z,t)\ dx\ dy\ dz$

Con estas 2 últimas ecuaciones entiendo el porqué: $\psi(x,y,z,t)=B(0,t)\ \phi(x,y,z,t)$ . Pero no entiendo por qué $V(S_{0},r_{0},q_{0},t=0)=\iiint V(x,y,z,t)\ \psi(x,y,z,t)\ dx\ dy\ dz$ .

Porque para mí tenemos $V(S_{0},r_{0},q_{0},t=0)=\mathbb{E}^{Q}[e^{-\int_{0}^{t}r_{s}ds}\ V(S_{t},r_{t},q_{t},t)]$ Entonces, ¿dónde está el término de descuento? $e^{-\int_{0}^{t}r_{s}ds}$ ¿se ha ido? Gracias

Answer 1

Creo que te confundes con las definiciones e interpretaciones de $\psi(x,y,z,t)$ y $\phi(x,y,z,t)$ .

• La cantidad $\phi(x,y,z,t)$ es un función de densidad de probabilidad . De forma infinitesimal, representa la probabilidad de pasar de un estado inicial $[S_t,r_t,q_t]=[S_0,r_0,q_0]$ en $t=0$ a un estado $[S_t,r_t,q_t]=[x,y,z]$ en $t>0$ . Como tal, $\phi(x,y,z,t)$ es la solución del Ecuación de Fokker-Planck (o ecuación de Kolmogorov hacia adelante) asociada a las SDE de $S_t, r_t$ y $q_t$ con la condición inicial $\phi(x,y,z,t=0)=\delta([x,y,z]-[S_0,r_0,q_0])$ . Ya que parece estar familiarizado con la fijación de precios neutrales al riesgo, si $$\phi(x,y,z) = \frac{d\mathbb{Q}\left([S_t, r_t, q_t] \leq [x,y,z]\right)}{d[x,y,z]}$$ y $\mathbb{Q}$ representa el $t$ -medida de avance se puede escribir: \begin {align} V(S_{0},r_{0},q_{0},t=0) &:= \mathbb {E}^ \mathbb {Q}_0 \left [ B(0,t) V(S_t, r_t, q_t, t) \right ] \\ &= \iiint B(0,t) V(S_t,r_t,q_t,t) \phi (S_t,r_t,q_t,t)dS_t dr_t dq_t \end {align}

• La cantidad $\psi(x,y,z,t)$ representa un precio del estado es decir, el precio de un Seguridad Arrow-Debreu lo que vale la pena $1$ unidad monetaria en el momento $t$ si y sólo si el mundo termina en el estado específico $[S_t,r_t,q_t]=[x,y,z]$ , \begin {align} \psi (x,y,z,t) &= \mathbb {E}^ \mathbb {Q} \left [ B(0,t) \delta ([S_t,r_t,q_t]-[x,y,z]) \right ] \\ &= \iiint B(0,t) \delta ([S_t,r_t,q_t]-[x,y,z]) \phi (S_t, r_t, q_t, t) dS_t dr_t dq_t \\ &= B(0,t) \phi (x, y, z) \end {align} Esto significa que se puede escribir a su vez $$ V(S_{0},r_{0},q_{0},t=0):=\iiint V(S_t,r_t,q_t,t)\psi(S_t,r_t,q_t,t)dS_t dr_t dq_t $$ que corresponde a la valoración de su crédito contingente como una suma ponderada de valores elementales de precios conocidos $\psi(S_t,r_t,q_t,t)$ cubriendo todos los futuros estados posibles del mundo, más conocido como el densidad de precios del estado .