¿Cómo estimar la varianza de este proceso estocástico?

Question

Tengo un inobservable cantidad estocástica $\lambda(t)$ que conozco analíticamente la varianza, es decir

$$\text{Var}(\lambda(t))= \frac{\theta \sigma^2}{2\kappa}$$

Mi objetivo es obtener una estimación de $\sigma^2$ .

Puedo observar S y K históricamente a veces $t=1,2,..$ y saber que aproximadamente se cumple lo siguiente

$$ \lambda(t) \approx S(t)+K(t)$$

¿Tiene sentido tomar simplemente la varianza muestral de la serie temporal $(S(t)+K(t))$ Llamémoslo $\hat{\sigma}^2_S$ y decir que una estimación razonable de $\sigma^2$ es $2 \kappa\frac{\hat{\sigma}^2_S}{\theta}$ ?

Cabe mencionar que la distribución de $\lambda$ no es bonito, pero tengo la media y la varianza.

Answer 1

Si $$ \Lambda = S + K $$ entonces puede ver muestras de $S+K$ y estimar la varianza de $\Lambda$ por la varianza de $S+K$ . Si $\theta$ y $\kappa$ son constantes conocidas, entonces se puede hacer el álgebra para derivar $\sigma^2$ .

La cuestión es cómo se mantiene la igualdad anterior. Si se mantiene con casi toda seguridad, entonces ya está hecho. Si se mantiene en la probabilidad, entonces usted está hecho también.

Tal vez ayude mirar

$$ \Lambda_t = S_t + K_t + \epsilon_t $$ y el modelo que resiudal $\epsilon$ .

Answer 2

$$ \text{Var}(dL) = \text{Var}(dK) + \text{Var}(dS) + \text{cov}(dS, dK) $$ Espero que tengas algunas observaciones simultáneas sobre $dK$ y $dS$ para estimar la covarianza o una buena suposición sobre ella.