Programación dinámica conjunta: Actividad de grupo

Question

Aquí tenemos dos agentes que pueden dedicar su tiempo a alguna actividad de grupo ( $h$ ) o quedarse en casa ( $l$ ). Cada agente $i$ intenta maximizar su respectivo problema de programación dinámica:

$$\begin{align} & \max \sum^\infty_{t=0} \beta^t h^{\alpha_i}l_i^{1-\alpha_i} \\ & \text{s.t.} \quad h_i + l_i = \bar{T} \\ & h = \min\left\{h_i, h_{-i}\right\} \end{align}$$

• ¿Está bien definido este problema? Es decir, ¿existe una solución/tiene la cuestión sentido desde el punto de vista económico?
• ¿Existe un equilibrio en el que $h_i = h_{-i}$ y si es así, ¿cuándo? Sólo cuando $\alpha_i = \alpha_{-i}$ ?

(Nótese que se aplican las condiciones típicas de Inada y las restricciones de no negatividad).

Edit : Bien, para hacer de esto una pregunta de programación dinámica real (derp), ofrezco una versión modificada de esta pregunta también para su lectura:

$$\begin{align} & \max \sum^\infty_{t=0} \beta^t h_t^{\alpha_i}l_i^{1-\alpha_i}k_t\\ & \text{s.t.} \quad h_{i,t} + l_i = \bar{T} \\ & h_t = \min\left\{h_{i,t}, h_{-i, t}\right\} \\ & k_t = (1-\lambda + \frac{h_t}{\bar{T}})k_{t-1} \cdot \end{align}$$

Donde $k$ es una acción "capital" en la actividad de grupo que hace que la gente disfrute más de la actividad, cuanto más se hace. Evidentemente, $\lambda \in (0,1)$

Answer 1

Si he entendido bien, la dimensión temporal no es más que una distracción, ya que los agentes se enfrentan a un problema de optimización distinto en cada ronda, sin ninguna restricción presupuestaria intertemporal. Por lo tanto, $$\begin{align} & \max_{h_i} h^{\alpha_i}l_i^{1-\alpha_i} \\ & \text{s.t.} \quad h_i + l_i = \bar{T} \\ & h = \min\left\{h_i, h_{-i}\right\} \end{align}$$ Existe una función continua de mejor respuesta para cada agente: $$BR_i(h_{-i}) = \min\left(\alpha_i \cdot \bar{T}; h_{-i} \right)$$ El equilibrio es $$h_1 = h_2 = \min_i \alpha_i \cdot \overline{T}.$$