Conveniente función de producción en forma de S (es decir, con IRS y DRS) para derivar una demanda discontinua de trabajo

Question

Digamos que una empresa produce una mercancía utilizando un solo insumo (es decir, el trabajo si suponemos que está en el muy corto plazo). Entonces tenemos una función de producción general de la siguiente forma $y=f(L)$ , para $L0$ sea el resultado obtenido cuando $L$ unidades de Trabajo se emplean.

Suponemos además que la primera derivada (es decir, el producto marginal de la empresa) es siempre $>0$ , pero ( suponiendo que f es dos veces diferenciable), $f''(L)0$ en $[0,c]$ y $f''(L)0$ en $[c,)$ . Por lo tanto, $f(L)$ es primero convexo y luego cóncavo, con $c$ como punto de inflexión.

En este caso, a diferencia del caso estándar de una tecnología de producción cóncava (con $f''(L)$ siempre $<0$ ), las empresas no siempre obtienen beneficios si siguen la regla estándar de maximización de beneficios (es decir $\frac{dF(L)}{dL}=w$ ). De hecho, con IR, hay niveles de salario real que igualan los rendimientos marginales para los que los costes laborales superan los ingresos. El valor de la producción es inferior a los costes laborales para todos los niveles de empleo inferiores a un nivel de empleo crítico (digamos $Lc$ ), es decir, el nivel en el que la productividad media se maximiza, o, donde la productividad marginal es igual a la productividad media. Por esta razón, la curva de demanda de trabajo es primero decreciente y luego, en un punto determinado, cae a cero.

¿Cuál puede ser una forma funcional específica adecuada para representar esta situación y que me permita derivar una curva de demanda de trabajo por parte de empresas con estas características?

Answer 1

No estoy seguro pero me parece que la función logística $\frac{e^{x}}{1+e^{x}}$ podría servir a su propósito.

Es posible que tenga que escalar a medida que su producción cae entre 0 y 1, pero tiene una derivada analítica que luego puede utilizar para resolver la función de demanda de trabajo.

Answer 2

Una de las especificaciones más sencillas que se me ocurren (y para la que la condición de primer orden puede resolverse analíticamente en $L$ ) es:

$$ y=\left\{ \begin{array}{ccc} L^{\alpha} & & L\leq L_{e} \\ L_{e}^{\alpha}+g\left( L-L_{e}\right) & & L>L_{e}% \end{array}% \right. $$ con $g\left( L-L_{e}\right) =(L-L_{e})^\beta$ y $\alpha\geq1$ y $0<\beta<1,$ o con $g\left( L-L_{e}\right)=\beta\ln \left( 1+L-L_{e}\right)$ .