Intuición detrás del estimador de efectos fijos

Question

Entiendo que el estimador de efectos fijos en un modelo de panel (digamos, individuos, $i$ a lo largo de los años, $t$) se puede entender ya sea como incluyendo un dummy para cada $i$ o corriendo OLS en los datos demediados en el tiempo. Mi pregunta es si la estimación del modelo de EF (es decir, el estimador within) es equivalente al promedio de las estimaciones de correr OLS en cada individuo por separado. Considera los siguientes dos enfoques:

$y_{it} = constante + \beta x_{it} + v_i + u_{it}$

$y_t = constante + \alpha x_t + e_t$ para todo $i \in (1, 2, ... N)$

La segunda ecuación nos da un $\alpha^i$ para cada individuo y mi pregunta es si $\beta = \frac{1}{N} \sum_i^N \alpha^i$

Answer 1

Le hice exactamente la misma pregunta en math.stackexchange:

https://math.stackexchange.com/questions/1470490/fixed-effects-estimation

En resumen, la respuesta es sí, se puede ver como correr regresiones OLS separadas- los pesos, sin embargo, no son arbitrarios. Es un promedio ponderado de las regresiones OLS separadas.

Answer 2

Creo que el segundo enfoque que sugieres es equivalente a usar un MCO en toda la muestra y con variables dummy para cada persona, país o lo que sea. Por lo tanto, la respuesta a tu pregunta debería ser sí.

Answer 3

Sea $\hat\alpha^i = \left[\sum_t (x_{it}-\bar{x}_i)^2 \right]^{-1} \sum_t (x_{it}-\bar{x}_i) (y_{it}-\bar{y}_i)$, estimador de la regresión OLS individual. Sea $\hat\beta$ el estimador de efectos fijos utilizando los datos de panel. Entonces, matemáticamente se tiene la identidad $$ \hat\beta = \sum_{i=1}^N w_i \hat\alpha^i,\quad w_i = \frac{\sum_t (x_{it}-\bar{x}_i)^2}{\sum_{j=1}^N \sum_t (x_{jt}-\bar{x}_j)^2}. $$ Esto confirma la respuesta de ChinG. (Nótese que el estimador de media grupal es $N^{-1} \sum_{i=1}^N \hat\alpha^i$, que es diferente al estimador de efectos fijos.)