Muestreo antitético Monte Carlo

Question

En el libro de Monte Carlo en Finanzas de Peter Jaeckel, leí la siguiente oración:

Cuando el primer momento realizado de la variable subyacente extrae $\{z_i\}$ tiene un fuerte impacto en el resultado de la simulación general, el muestreo antitético es una forma fácil de mejorar la precisión del cálculo ya que corrige el primer momento. Por supuesto, si usamos una simulación de Monte Carlo para calcular el valor de contratos derivados que dependen principalmente (o solo) de momentos superiores, el muestreo antitético no ayudará.

De lo que entendí del muestreo antitético, reduce la varianza del estimador de la media si:

$$ Cov(v(z_i), v(-z_i)) < 0$$ Dado que no se mostraron pruebas en el libro, mis preguntas entonces son:

• ¿Cómo corrige el primer momento?
• ¿Por qué no ayuda para contratos derivados que dependen de momentos superiores?

Answer 1

1) El muestreo antitético reduce la varianza en que por cada camino generado por números aleatorios en el intervalo [0,1] (que representan probabilidades), genera otro camino que está correlacionado con ese camino (por ejemplo, tomando el 1 - número aleatorio del primer camino). Como tal, por construcción, obliga a que haya otro camino correlacionado en la simulación y, por lo tanto, una reducción en la varianza en comparación con una serie de solo números aleatorios.

Para ilustrar con un ejemplo:

Supongamos que uno se adhiere al modelo de "Movimiento Browniano con Deriva" para los rendimientos de capital, y que este modelo describe con precisión la distribución de rendimientos para la acción que se está modelando.

Entonces, sus rendimientos de capital pueden ser modelados utilizando la siguiente ecuación:

$$E(r) _{t} = t + \sigma\epsilon*t^{0.5}$$

donde es un número aleatorio tomado de una normal estándar.

Supongamos que se están generando 2 posibles caminos de rendimiento para un período, utilizando 2 métodos.

Método 1: Simulación de Monte Carlo utilizando muestreo antitético; usando muestras aleatorias para el camino 1 y la técnica antitética (1 - número aleatorio) para el segundo camino.

Método 2: Simulación de Monte Carlo; utilizando muestras aleatorias para ambos caminos

Para generar caminos aleatorios, supongamos que se dibuja de una distribución uniforme [0,1] para generar una probabilidad aleatoria y se transforma esta probabilidad utilizando la normal estándar. Supongamos que esta probabilidad aleatoria es 0.84, lo que resulta en una puntuación z de 1 para el primer camino bajo el Método 1 y el Método 2.

Bajo el Método 1, utilizando muestreo antitético, entonces se generaría el segundo camino usando (1 - probabilidad aleatoria del primer camino) para generar una probabilidad de 0.14 resultando en una puntuación z de -1. Es fácil ver que si uno hace esto para varios caminos, lo que resultará es una distribución de rendimientos que está normalmente distribuida alrededor de , llegando a un primer momento preciso, ya que cada una de las puntuaciones z derivadas de la simulación tendrán una puntuación z igual pero opuesta de la técnica antitética. Esto es consistente con la suposición de lognormalidad de la distribución de acciones.

Bajo el Método 2, la segunda extracción aleatoria podría resultar en cualquier puntuación z para el segundo camino y luego podría resultar en una volatilidad mayor que la del Método 1, el método de muestreo antitético. Por ejemplo, si el segundo número aleatorio fue 0.9 resultando en una puntuación z de 1.28, se tendría 's de 1 y 1.28 para generar la distribución de rendimientos usando la ecuación anterior (en lugar de 1 y -1 al usar el muestreo antitético). En este caso, la pura aleatoriedad de su técnica de muestreo introduciría volatilidad, mientras que en el Método 1, está forzando a que la distribución se adhiera al primer momento correcto por construcción. Por supuesto, si uno tuviera un generador de números verdaderamente aleatorio y con suficientes caminos, estos dos convergerían; pero en general, resultarían en una volatilidad mayor que la del muestreo antitético y se necesitaría un mayor número de caminos para lograr una distribución de rendimientos normalmente distribuidos.

2) El muestreo antitético no ayuda en la fijación de precios de derivados que dependen de momentos superiores en que estás forzando la distribución de rendimientos a estar correlacionada a través de tu técnica de muestreo. Si la distribución de rendimientos se distorsiona como resultado del uso de técnicas antitéticas, o al no generar caminos aleatorios y una simulación que incorpora la volatilidad de la orden superior subyacente de tu derivado, se obtendrá una valoración inexacta de derivados que se basan en momentos superiores.