Cálculo de la volatilidad implícita de los cajeros automáticos con Vega

Question

¿Podemos calcular la volatilidad implícita de los cajeros automáticos con Vega?

Normalmente, Vega se deriva de Volatilidad, pero me pregunto la disponibilidad de la manera opuesta.

Answer 1

Suponiendo que te refieras a la inversión de la Vega de Black Scholes, sí parece posible:

Toma la fórmula de Vega:

$V = S \sqrt{\tau} n{\left (d_{1} \right)}= S \sqrt{\tau} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-0.5 d_1^2}$

Reorganizar para aislar $d_1$ :

$d_1^2=-2\ln \left(V \frac{\sqrt{2 \pi}}{S \sqrt{\tau}} \right)$

Para simplificar, llamemos al lado derecho $ C=-2\ln \left(V \frac{\sqrt{2 \pi}}{S \sqrt{\tau}} \right)$ Así que

$d_1^2=C$

Ahora recordemos la famosa expresión

$d_1= \frac{\ln S_0 -\ln Ke^{-r \tau} }{\sigma \sqrt{\tau}}+\frac{1}{2}\sigma \sqrt{\tau}$

Que podemos abreviar (M es el dinero y v es la volatilidad total):

$d_1= \frac{\ln M }{v}+\frac{1}{2}v$

Enchufando la expresión anterior,

$d_1^2=\left( \frac{\ln M }{v}+\frac{1}{2}v\right)^2=C$

Ahora tenemos que resolver para v (que es el vol implícito por root cuadrada del tiempo hasta el vencimiento, $\sigma \sqrt{\tau}$ ), así que ampliemos el cuadrado y simplifiquemos:

$ \frac{\left(\ln M\right)^2 }{v^2}+\frac{1}{4}v^2+2 \frac{\ln M }{v}\frac{1}{2}v=C$

$v^4+4 \left(\ln M -C\right)v^2+4 \left(\ln M\right)^2=0$

Así que todo listo para la fórmula cuadrática:

$v^2=\frac{-4 \left(\ln M -C\right)\pm \sqrt{16\left(\ln M -C\right)^2-16 \left(\ln M\right)^2}}{2}$

Lo cual podemos simplificar:

$v^2=-2 \left(\ln M -C\right)\pm 2\sqrt{\left(\ln M -C\right)^2- \left(\ln M\right)^2}$

Para ATM, ln M será cero, por lo que la fórmula se simplifica considerablemente: 4C.