¿Bajo qué condiciones el proceso aleatorio dado es martingala y bajo qué submartingala?

Question

Dejemos que $a_t $ adaptarse al proceso aleatorio de filtración $a_t: P\{\int _0^T|a_t|dt < \infty \} = 1 $ y $ b_t \in M_T^2. \quad$ En qué condiciones el proceso aleatorio $$X_t = exp\{\int _0^ta_sds+\int _0^tb_sdW_s\} \; t \in [0, T]\,$$ es martingala y bajo qué submartingala ?
Según tengo entendido, este es un famoso ejemplo de "martingala exponencial" y la respuesta es:
El proceso será martingala para $ a_s = -\frac {b_s^2}{ 2 } $ .
Pero no entiendo cómo probarlo. ¿Y qué condiciones serán para submartingale?
Mi intento de prueba fue:
Intentemos encontrar las condiciones cuando $E(\frac{X_t}{X_s}|\mathcal F_s)= 1$ .

$E(\frac{X_t}{X_s}|\mathcal F_s)=exp\{\int _s^ta_sds\} E(exp\{\int _s^tb_sdW_s\}) $
Además, entiendo que $\int _s^tb_sdW_s$ tiene una distribución gaussiana.
Pero no sé qué hacer a continuación. Le agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Se puede abordar esto utilizando el lema de Ito. Sea $I_t=\int_0^t a_u du+\int_0^tb_udW_u, (\forall) t\in [0;T]$ . Entonces, por definición tenemos que: $$ dI_t=a_t+b_tdW_t. $$ Utilizando el lema de Ito aplicado a $f(I_t)$ , donde $f(x)=e^x$ obtenemos: $$ dX_t=d\left(e^{I_t}\right)=\underbrace{e^{I_t}}_{X_t}dI_t + \frac{1}{2}e^{I_t}d\langle I \rangle_t, $$ donde $\langle I \rangle_t$ es el variación cuadrática de $(I_t)_{t\geq 0}$ . Esta variación cuadrática se puede obtener utilizando las reglas del cálculo estocástico: $$ d\langle I \rangle_t =(b_t)^2 dt. $$ Por lo tanto, $$ dX_t=X_tdI_t+\frac{1}{2}X_t(b_t)^2dt=\left(a_t+\frac{b_t^2}{2}\right)dt+X_tb_tdW_t. $$ Esto es realmente una notación abreviada para: $$ X_t=X_0+\int_0^t \left(a_u+\frac{b_u^2}{2}\right)du+\int_0^t X_ub_udW_u. $$ Pero como el último término de la fórmula anterior es una integral estocástica (que es una martingala), tenemos que: $$ \mathbb{E}\left[X_t\right]=\mathbb{E}\left[X_0\right]+\mathbb{E}\left[\int_0^t\left(a_u+\frac{b_u^2}{2}\right)du\right]. $$ Para garantizar la martingalidad de $(X_t)_{t\geq 0}$ una condición necesaria es: $$ \mathbb{E}\left[\int_0^t\left(a_u+\frac{b_u^2}{2}\right)du\right] = 0. $$ Esto es algo diferente a lo que has escrito arriba, ya que la integral $$ \int_0^t\left(a_u+\frac{b_u^2}{2}\right)du $$ es una variable aleatoria. Su condición es suficiente, pero no necesaria.

Dado que la condición de submartingale es $$ \mathbb{E}\left[X_t|\mathcal{F}_s\right]\geq X_s, \text{for }s\leq t $$ (suponiendo que la filtración sea realmente $\left(\mathcal{F}_t\right)_{t\geq 0}$ ), entonces la condición suficiente para $(X_t)_{t\geq 0}$ para ser un submartingale debe ser sencillo de ver ahora.