¿Por qué la opción binaria de venta a largo plazo es más cara que la de compra asumiendo la GBM sin rumbo?

Question

Dice que X sigue un movimiento browniano geométrico (GBM) sin rumbo dado una volatilidad ( $\mu = 0$ ). Da el valor esperado de su punto inicial. (Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_Brownian_motion )

$E(X) = X_0$

Dado que el modelo de fijación de precios de Black Scholes asume manchas siguientes GBM,

$Binary\ Cash \ or \ Nothing \ Call = e^{rt}N(d_2)$

y

$Binary\ Cash \ or \ Nothing \ Put = e^{rt}N(-d_2)$

Mi pregunta es, refiriéndome a la fórmula de Black Scholes, ¿por qué se supone que la opción de venta de efectivo o nada es más cara que la opción de compra, siempre que ambas estén en un GBM sin rumbo? ¿Supondría Black Scholes que la probabilidad a la baja es mayor que la probabilidad al alza?

Answer 1

Esto se debe a la asimetría de la distribución lognormal.

Tiene una mayor probabilidad de estar por debajo de la media, pero como los valores de $X$ son menores, lo que compensa, en el cálculo de la expectativa, la menor probabilidad de estar por encima de la media con valores más altos de $X$ .