Mark Joshi Finanzas cuantitativas técnicas numéricas, escribir un algoritmo que produce una variable aleatoria

Question

Antecedentes:

Me estoy preparando para unas entrevistas y me han dicho que intente responder al mayor número posible de problemas del libro de Mark Joshi.

Pregunta:

Supongamos que un activo toma valores de un conjunto discreto $v_j$ y las probabilidades de $v_j$ es $p_j$ . Escriba un algoritmo que produzca la variable aleatoria para este activo a partir de una variable aleatoria uniformemente distribuida

No estoy seguro de entender la pregunta que se plantea aquí. Cualquier sugerencia o aclaración es muy apreciada.

Answer 1

Sí. El libro de Mark Joshi es una buena preparación.

Para esta pregunta se le da una función aleatorio() produciendo un número aleatorio uniforme y lo que queremos es una función next() que produce realizaciones de un $X$ variable con valores $v_j$ tal que $P(X=v_j)=p_j$ .

De los libros de texto estándar conocemos la siguiente transformación: Si $u_i$ son números aleatorios uniformes y $g$ la inversa de una función de distribución acumulativa $F$ entonces $g(u_i)$ son realizaciones de una variable aleatoria con f.d.c. $F$ .

En nuestro caso lo mejor es almacenar los valores en un vector $v[]$ así que sólo tenemos que manejar el índice aleatorio $Y$ con $P(Y=j)=p_j$ . La f.d.c. viene dada por $$ F[k] = P(Y\le k) = \sum_{j \le k} p_j $$ y se puede almacenar en otra matriz, Ahora la inversa es fácil de implementar:

int g(double x)
{
    for (int k = 0; k < F.Length; k++)
    {
        if (x <= F[k])
        return k;
    }
    return F.Length - 1; // you're not getting here
}

y

double next()
{
    return v[g[random()]];
}

Hecho. La transformada también puede usarse para generar números aleatorios normales, exponenciales...

Answer 2

Estoy seguro de que ha visto el $n=2$ caso:

Escriba un programa que devuelva "Sí" con probabilidad p y "No" en caso contrario. Se le da una función runif(), que devuelve un número aleatorio entre 0 y 1.

Solución:

r = runif(); si $r<p$ entonces devuelve "SÍ"; en caso contrario devuelve "NO".

A partir de este ejemplo bien conocido hay que generalizar a más de 2 resultados posibles. Imagina que tienes que simular una rueda giratoria de lotería con sectores desiguales. de anchura $p_1,p_2,\cdots$ con $r$ que representa la distancia (fracción de círculo) que ha girado la rueda.

Solución:

Después de extraer un número aleatorio uniforme r=runif(), se comprueba su valor. Si $r<p_1$ vuelves $v_1$ si no $r<p1+p2$ vuelves $v_2$ si no $r<p_1+p_2+p_3$ vuelves $v_3$ ,... El caso general, para $n$ es un simple bucle que comprueba si $r$ está en el rango correcto y devolviendo el valor correspondiente a ese sector. (¿Crees que puedes escribir el código?).

Answer 3

Las respuestas anteriores, que sugieren simular $U\sim(0,1)$ y devolviendo $J$ tal que $\sum_{i=1}^{J-1} p_i \le U < \sum_{i=1}^{J} p_i$ estará bien para la entrevista. Sin embargo, como esto no es sólo un sitio de preguntas y respuestas sobre entrevistas de trabajo, me gustaría señalar que para grandes espacios muestrales, o si haces muchas muestras incluso de espacios muestrales de tamaño modesto, esto es extremadamente ineficiente. Me horrorizaría ver que esto se utilizara en código de producción en el siglo XXI para estos casos-. Muestreo de alias Walker por ejemplo, es una alternativa mucho mejor.

Answer 4

La pregunta te pide que produzcas un algoritmo para generar números aleatorios con una distribución de probabilidad dada, habiendo recibido números aleatorios distribuidos uniformemente.

esencialmente, necesita proporcionar alguna función, $f(\phi(\ldots)): \tilde{X}\sim U(0,1) \to \tilde{Y} \sim \phi(\ldots)$ . Es decir, una función de una pdf, que convertirá números aleatorios uniformemente distribuidos en números aleatorios distribuidos según la pdf proporcionada.

Hay varias formas de hacerlo descritas en wikipedia en el caso de esta pregunta concreta, la que usted desea es muestreo por transformada inversa . Sólo tienes que integrar el pdf para obtener un cdf a utilizar. A continuación, puede crear una spline de interpolación para él, en alguna cuadrícula, y luego intercambiar x e y para invertirlo.