Una pregunta sobre la volatilidad implícita de la superficie

Question

Vamos a un precio de las acciones en proceso de ser $(S_t)_{t\geq 0}$ y dejar $(K, T)\longrightarrow \sigma^*(K,T)$ ser la volatilidad de la superficie correspondiente a las opciones de vainilla en el mercado de valores. ¿Qué es, para cualquier tiempo $T$ implícita la distribución de la densidad de $S_T$ correspondiente a la huelga $K$? También, lo que es de $\mathbb P(S_T=K)$ como una función de la llamada de precios, para la madurez $T$ y la huelga de $K$? Y lo que es su expresión como una función de la $\sigma^*$ y sus derivados?

Answer 1

Vamos $$q (S) := \frac{d\mathbb {Q}(S_T \leq S)}{dS}$$ denotar la función de densidad de probabilidad del precio de las acciones en el tiempo $T>0$ bajo el riesgo-neutral medida.

Por definición, el precio de una call Europea, a continuación, escribe $$\begin{align} C (K,T) &= P (0,T) E_0^{\mathbb {Q}}[(S_T-K)^+] \\ &= P (0,T) \int_K^\infty (S - K) q (S) dS \end{align}$$ con $P (0,T)$ el correspondiente factor de descuento.

Calcular la segunda derivada de la última igualdad con respecto a los $K$ para obtener lo que se conoce como la Breeden-Litzenberger identidad, $\forall T>0$:

$$q (S_T=K) = \frac {1}{P (0,T)} \frac {\partial^2 C }{\partial K^2} (K,T)$$

que responde a tus dos primeras preguntas.

Para expresar el pdf como una función de la volatilidad implícita de sonreír, sólo tiene que utilizar el hecho de que

$$C(K,T) = BS (P (0,T), F (0,T), \sigma^*(K,T), K, T)$$

donde $BS (.)$ representa el Black-Scholes fórmula analítica, a continuación, trabajar la expresión de la derivada segunda $\frac {\partial^2 C }{\partial K^2} (K,T)$ en función de $\sigma^*(T,K)$ utilizando el estándar de cálculo (regla de la cadena).