La existencia de una solución para el problema de maximización de beneficios

Question

Estoy pensando en las condiciones de existencia de la solución de este problema de maximización de beneficios (PMP), es decir

$\max_{z \in R_+^{K-1}} pf(z) -wz$ ,

donde $z \geq 0$ : vector de entrada, $p>0$ el precio de la producción, $w \gg 0$ : un vector de precios de los insumos, y $f:R_+^{K-1} \rightarrow R_+ $ la función de producción.

Por supuesto, si el conjunto de la producción $Y$ es compacto, por el teorema de Weierstrass, podemos demostrar que existe una solución de este PMP. Pero muchos casos, $Y$ es cerrado pero no acotado. Entonces, ¿qué tipo de suposiciones sobre la función $f$ son necesarios para demostrar la existencia de una solución, en lugar del teorema de Weierstrass?

Answer 1

Un posible enfoque es encontrar un conjunto compacto $Z$ de entradas y demostrar que el PMP tiene una solución óptima si y sólo si el PMP tiene una solución óptima en $Z$ .

Si es así, podemos sustituir el PMP por el siguiente problema. $$max_{z \in Z} \,\,p f(z) - w z.$$ Si $f$ es continua y si $Z$ es compacto, la existencia de una solución se deduce del teorema de Weierstrass.

Un ejemplo de condición suficiente para $Z$ existir es suponer que $f(0) = 0$ y que existe un nivel de entrada $z_0$ tal que para todo $z > z_0$ , $p f(z) - w z < 0$ . En palabras, hay un nivel de entrada $z_0$ de tal manera que tener un nivel de entrada más alto generará beneficios negativos. Entonces podemos establecer $$ Z = \{z \in \mathbb{R}^{K-1}_+: z \le z_0\}. $$ Observe que $Z$ es compacto. Para que esto funcione tenemos que demostrar que el PMP tiene una solución óptima si y sólo si tiene una solución óptima en $Z$ .

Para ver que esto es cierto, primero observe que $z = 0$ es una solución factible para el PMP y también está en $Z$ . Por lo tanto, la solución óptima del PMP siempre generará un beneficio mayor o igual a cero, lo que significa que ninguna solución $z$ al PMP estará fuera del conjunto $Z$ .

Answer 2

Intuitivamente, se querría que la función de beneficio tuviera un "pico" en algún vector finito $\mathbf z^*$ . Para garantizarlo, basta con exigir que

• la función de beneficio $\pi(\mathbf z)=pf(\mathbf z)-\mathbf w\cdot\mathbf z$ sea cóncavo en $\mathbf z$ ,

• la función de producción $f$ sea creciente y continuamente diferenciable en $\mathbf z$ y

• la función de producción $f$ satisfacer $$\lim_{z_i\to\infty}\frac{\partial f(\mathbf z)}{\partial z_i}=0$$ para cada elemento $z_i$ en el vector $\mathbf z$ .

Dado un vector positivo de precios de los insumos $\mathbf w$ Estas condiciones garantizan la solución del problema de maximización de beneficios.

De forma más general, puede que también quiera mirar el Condiciones de Inada que suelen citarse en los modelos DSGE.