Para simplificar, consideremos un mundo BS 1D. La única fuente de aleatoriedad proviene de la dinámica del movimiento browniano $dB_t$ . El tipo sin riesgo es $r$ (se puede asumir como constante por el momento). Sé que, en virtud del teorema de Girsanov, el movimiento browniano bajo la medida de riesgo neutro está definido por $$dB_t^{\Bbb Q} = \lambda dt + dB_t$$ donde $\lambda$ es el precio de mercado único del riesgo, o el llamado ratio de Sharpe.
Bajo la medida de riesgo neutral, cualquier proceso de precio de las acciones que no pagan dividendos $S_t$ Así pues, lo siguiente $$\frac{dS_t}{S_t} = rdt + \sigma_SdB_t^{\Bbb Q}.$$
Sin embargo, en el caso de Kerry Back Curso de Valores Derivados página 220, el autor afirmaba sin prueba alguna que la tasa de rendimiento instantánea de una opción de compra sobre el precio de las acciones $C_t$ también es $r$ es decir $$\frac{dC_t}{C_t} = rdt + \sigma_C d B_t^{\Bbb Q}$$ donde $\sigma_C$ es algún proceso estocástico que no nos interesa. El autor hace un uso crucial de la fórmula anterior (es decir, la deriva de $C_t$ es $rC_tdt$ ) para derivar la EDP de la BS.
Pregunta es cierto que bajo la medida de riesgo neutral, cualquier precio del activo que no paga dividendos $X_t$ debe tener su tasa de rendimiento instantánea igual a $r$ ? Si es así, ¿cuál sería un riguroso ¿explicación de esto?
Editar : Antoine tiene razón. Bajo la medida de riesgo neutro, cualquier precio de activo descontado $Y_t=e^{-rt}X_t$ debe ser una martingala o, de forma equivalente, una integral de Ito sin deriva. Por lo tanto, $$\frac{dY_t}{Y_t}=\sigma_Y dB_t^{\Bbb Q}.$$ donde $\sigma_Y$ puede ser un proceso estocástico bastante general. Por otro lado, por la regla de composición de los procesos de Ito, $$\frac{dY_t}{Y_t}=-rdt+\frac{dX_t}{X_t}$$ Por lo tanto, se deduce que $$\frac{dX_t}{X_t}=rdt+\sigma_Y dB_t^{\Bbb Q}.$$
