La probabilidad de que la volatilidad realizada sea mayor que la implícita

Question

Hice un test sobre finanzas cuantitativas. Una de las preguntas era..:

¿Cuál es la probabilidad, en el mundo de los Black-Scholes, de que la volatilidad realizada sea mayor que la implícita? ¿Y por qué?

No pude encontrar ninguna respuesta en Internet. ¿Podría ayudarme por favor?

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Logré tener la respuesta esperada, y estaba en el camino correcto :

La volatilidad implícita es el IV ATM La volatilidad realizada se define como el valor absoluto de la rentabilidad logarítmica

Sabemos que una variable aleatoria gaussiana está en el rango +- 1*sigma con una probabilidad del 68%. Por lo tanto, la respuesta correcta es aproximadamente el 32%.

Si tiene algún comentario me interesa

Answer 2

Está claro que con el tiempo $t\rightarrow t+dt$ el (esperado) varianza implícita en el mundo del BS (bajo la medida de riesgo neutral $\mathbb{Q}$ ) es $\sigma^2 dt$ .

La varianza realizada de una senda de valores logarítmicos arbitraria (bajo la medida física $\mathbb{P}$ ) es $$\sum_{i=1}^\infty \sigma^2(W_{i+1}-W_i)^2 \approx \sum_{i=1}^n \sigma^2(W^{(n)}_{i+1}-W^{(n)}_i)^2 \sim \sigma^2 \frac{dt}{n}\chi_n$$ para grandes $n$ y $W^{(n)}_{i+1}-W^{(n)}_i \sim \mathcal{N}(0,\frac{dt}{n})$ i.i.d. Ahora $$ \text{Prob}(\sigma^2 \frac{dt}{n}\chi_n > \sigma^2 dt) = \text{Prob}(\chi_n > n) = \text{Prob}(\gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2}) > n),$$ donde $\gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$ es la distribución gamma. La última expresión puede resolverse numéricamente.