Escala de una matriz de transición

Question

Estoy trabajando en una matriz de transición de calificaciones y me preguntaba cómo la gente la reduce a periodos de tiempo más cortos (aunque uno debería ceñirse más o menos al periodo de estimación, lo sé).

Está claro que se puede escalar a un periodo de tiempo más largo multiplicando repetidamente la matriz por sí misma.

¿Cómo se puede reducir la matriz a una matriz de transición, por ejemplo, mensual?

He encontrado un resultado en reversible Cadenas de Markov y pensó lo siguiente:

Dejemos que $M$ sea la matriz de transición de una cadena de Markov reversible, entonces se puede factorizar en $$ M = S D$$

con una matriz simétrica $S$ y una matriz diagonal $D$ . Parece que también es cierto lo contrario.

Ahora, si tuviéramos un reversible cadena de markov, podríamos elevar la matriz a una fracción tomando la descomposición de valores propios de $S = E^{T}\Lambda E$ y elevando $S$ así como $D$ a la potencia adecuada.

Así que definimos

$$ \bar{M}:= E^T \Lambda^{\frac{1}{n}}E D^{\frac{1}{n}}$$ y decir que $\bar{M}$ es ahora $M^{\frac{1}{n}}$ .

La pregunta es: ¿es adecuada esta forma? ¿Tiene algún sentido (desde un punto de vista matemático - sé que la reducción de escala de una matriz de transición es discutible)? ¿Son las matrices de transición de las calificaciones de un reversible ¿Cadena de Markov?

La pregunta principal es: ¿Cuál es el método más utilizado para elevar las matrices de transición de las calificaciones a una fracción?

Answer 1

Tienes razón, las reglas para escalar en el tiempo una matriz de transición de T años $M_T$ son:

• $M_{k·T} = M_T^k$
• $M_{T/k} = \sqrt[k]{M_T}$

root de una matriz M se puede obtener mediante la descomposición espectral:

$M = P·D·P^{-1} \Longrightarrow M^k = P·D^k·P^{-1}$

donde $P$ y $D$ son los vectores propios y las matrices de valores propios de $M_T$ .

Nota : El Perron-Frobenius dice que los valores propios de la matriz de transición satisfacen |λ|≤1. Esto permite valores propios negativos y complejos. El siguiente código R muestra una matriz de transición con un valor propio negativo:

M = matrix(ncol=3, nrow=3, 0)
M[1,1]=0.1; M[1,2]=0.8; M[1,3]=0.1
M[2,1]=0.8; M[2,2]=0.1; M[2,3]=0.1
M[3,1]=0.0; M[3,2]=0.0; M[3,3]=1.0
eigen(M)

Nota : Como se indica en _Algoritmos de regularización de las matrices de transición_ root de una matriz de transición puede ser una matriz de transición inválida o no ser única. En este caso, debemos transformar esta matriz en la matriz de Markov correspondiente. Este proceso se denomina regularización . En el documento referenciado existen algunos algoritmos para regularizar una matriz de transición.

Nota : Sospecho que las matrices de transición con un solo estado absorbente y estrictamente diagonal dominante tiene valores propios reales y positivos, pero no tengo pruebas.

Puede obtener más información en Documento técnico de CCruncher .