La prueba de que $\exp(aW(t)-0.5 un^2t)$ es una martingala

Question

Estoy tratando de demostrar que $Z(t)=\exp(aW(t)-0.5 un^2t)$ es una martingala donde $W(t)$ es un proceso de Wiener y $a$ es una constante. Aquí va mi intento:

$$E[Z(t+s)] = E\left[\exp\left(aW(t+s)-0.5 a^2(t+s)\derecho)\derecho].$$

Me dijeron que se puede escribir $\exp(aW(t+s))$ como $\exp(aW(t)+aW(s))$, podría alguien explicar por qué es así?

Answer 1

Vamos $(W_t)$ ser un estándar, el movimiento Browniano y el $a>0$. Definimos $X_t=e^{aW_t-\frac{1}{2}a^2}$. Entonces, el proceso $(X_t)$ es una adaptación y la integración, que son las dos primeras condiciones de ser una martingala. Finalmente, para cualquier $s<t$, \begin{align*} \mathbb{E}\left[ X_t\mid\mathcal{F}_s\derecho] &= \mathbb{E}\left[ e^{aW_t-\frac{1}{2}a^2t}\mid\mathcal{F}_s\derecho] \\ &= e^{-\frac{1}{2}a^2(t-s)}\mathbb{E}\left[ e^{aW_t-\frac{1}{2}a^2}\mid\mathcal{F}_s\derecho] \\ &= e^{-\frac{1}{2}a^2(t-s)}\mathbb{E}\left[ e^{a(W_t-W_s)}e^{aW_s-\frac{1}{2}a^2}\mid\mathcal{F}_s\derecho] \\ &= e^{-\frac{1}{2}a^2(t-s)}\mathbb{E}\left[ e^{a(W_t-W_s)}\right] e^{aW_s-\frac{1}{2}a^2} \\ &= e^{aW_s-\frac{1}{2}a^2}\\ &= X_s. \end{align*} Tenga en cuenta que el incremento de $W_t-W_s\sim N(0,t-s)$ es independiente de $\mathcal{F}_s$ y por lo tanto el acondicionamiento de $\mathcal{F}_s$ se puede quitar. Además, $\mathbb{E}\left[ e^{a(W_t-W_s)}\right]=e^{\frac{1}{2}a^2(t-s)}$. Por otro lado, $W_s$ es $\mathcal{F}_s$ medibles (es decir, conocidos en el momento $s$ y por lo tanto pueden ser tomados de la esperanza condicional.

Answer 2

Conjunto de $Z_t := f(W_t,t)$ donde $f(x,t) = e^{ax -\frac{1}{2}a^2t}.$ Luego de aplicar el lema de Ito tenemos $$dZ_t = aZ_tdW_t.$$ Esto significa que $Z_t$ es una martingala local. Por $Z_t$ a ser una martingala puede demostrar que $E \int_0^t|a e^{aW_t -\frac{1}{2}a^2u}|^2 du <\infty.$ Para que se puede usar el teorema de Fubini. \begin{align*} E \int_0^t|a e^{un W_u - \frac{1}{2}a^2u}|^2 du &= E \int_0^t^2 e^{2aW_u -a^2u}|^2 du \\ &\leq a^2 E \int_0^t e^{2 W_u}du \etiqueta*{(desde $e^{2 W_u -a^2u} \leq e^{2 W_u }$)} \\ &= a^2 \int_0^t E E^{2aW_u}du \etiqueta*{(Fubini T)} \\ &= a^2 \int_0^t e^{2a^2 u}du \\ &< \infty. \end{align*}