Diferentes formas de optimización de la cartera

Question

Hay diferentes maneras de optimizar las carteras de:

$$ \max R^Tw\etiqueta{1}$$

o

$$ \min w^T \Sigma w\etiqueta{2}$$

y finalmente con una tolerancia de riesgo $\lambda$:

$$ \min{(w^T\Sigma w-\lambda I^T w)}\etiqueta{3}$$

Supongamos que tenemos la restricción de $\sum w_i = 1$, $w_i\ge 0$ para todos los problemas de optimización.

Además, podemos definir nuevas restricciones por problemas de $(1)$ y $(2)$:

Por $(1)$: $w^T\Sigma w\le \sigma$, es decir, el riesgo no debe superar un cierto nivel de $\sigma$.

El mismo es posible para $(2)$ con retorno, añadiendo la restricción: $R^T w\ge r$, para un mínimo de destino return $r$.

Mi pregunta es, en el problema de optimización de $(3)$, ¿tiene sentido agregar una restricción como $w^T \Sigma w \le \sigma$ o $R^Tw \ge r$?

Yo estoy en lo correcto al decir que la adición de tal restricción podríamos descartar la solución (una frontera eficiente de la cartera) que no satisfaga esta restricción?

Answer 1

No tiene sentido, ya que (3) es un conjunto completo de seguridad: define el (menos utilidad) en función a minimizar wrt $w$. El parámetro $\lambda$ permite evaluar el equilibrio entre el riesgo y el rendimiento de forma explícita. Por otro lado, en (1) y (2) dicho parámetro está ausente, pero las limitaciones en el riesgo, en (1) y en la declaración de (2) realizar una función similar a la de $\lambda$.

Sólo hay una frontera eficiente. Cada punto de la frontera es un portolio que tiene un mínimo de varianza para un determinado rendimiento esperado.

Hay 3 formas equivalentes para obtener la frontera, y la Wikipedia menciona dos de ellos de forma explícita que: I) Resolver (3) para todos los valores positivos de $\lambda$ II) Resolver (2) para todos los posibles valores de retorno esperado. También se puede resolver (1) para todos los valores posibles de la cartera de la varianza. En cualquier caso, la solución es la misma que la frontera eficiente.