cálculo estocástico - movimiento browniano

Question

No sé cómo probar esto :

vamos a ser de $X_t = \int_{0}^{t}\sigma_{u}dW_{u}$ donde $\sigma_{t}$ es un proceso predecible.

Si $|\sigma_{t}| = c$ a.s. cómo puedo probar que $X_{t}=c*\beta_{t}$ (igualdad en la distribución) ? (obvio si no hay valor absoluto..)

Gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que $X$ es una martingala continua. Por otra parte, el cuadrático de variación está dada por \begin{align*} \langle X_t, \, X_t\rangle = \int_0^t |\sigma_u|^2 du = c^2 t. \end{align*} Es decir, \begin{align*} \langle X_t/c, \, X_t/c\rangle = t. \end{align*} A partir de Levy, caracterización, $X/c$ es por ley un movimiento Browniano, que denotamos por $\beta$. Entonces, por la ley, \begin{align*} X_t = c\, \beta_t. \end{align*}