El arbitraje libre en un Black-Scholes/modelo de Poisson

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio de Bjork del Arbitraje Teoría en Tiempo Continuo:

Considere un modelo para el mercado de valores, donde la tasa de interés de corto $r$ es un determinista constante. Nos centramos en una bolsa especial con precio de proceso de $S$. Bajo el objetivo de la medida de probabilidad P $$ tenemos la siguiente dinámica para el precio de proceso. $$ dS(t) = \alpha S(t)dt + \sigma S(t)dW(t) + \delta S(t^-)dN(t) $$ Aquí $W$ es un estándar de proceso de Wiener, mientras que $N$ es un proceso de Poisson con intensidad $\lambda$. Suponemos que $\alpha, \sigma\delta$ y $\lambda$son conoce a nosotros. El $dN$ término deberá interpretarse de la siguiente manera:

• Entre el salto momentos del proceso de Poisson $N$, el $S$-proceso se comporta como ordinario el movimiento Browniano geométrico.
• Si $N$ tiene un salto en el tiempo $t$ esto induce a $S$ a haber un salto en el tiempo $t$. El tamaño de la $S$-saltar está dada por $$ S(t) - S(t^-) = \delta\cdot S(t^-) $$

Discutir las siguientes preguntas.

1. Es el modelo libre de arbitraje?
2. Es el modelo completo?
3. Hay un único arbitraje de precio libre, por ejemplo, para una opción call Europea?
4. Supongamos que desea replicar una opción call Europea con vencimiento en enero de 1999. ¿Puedo (en teoría) para replicar este de los activos de una cartera compuesta de los bonos, las acciones subyacentes y Opción call europea con vencimiento en diciembre de 2001?

Q2

El modelo es completo si podemos encontrar una réplica de la cartera para ello. El replicar la cartera puede ser construido a partir de una fianza, con determinista precio de proceso: $$ dB = rBdt $$ y un cierto número de acciones de bolsa $S_i$, con estocástico precio de proceso: $$ dS_i = \alpha_i S_i dt + S_i\sum_j\sigma_{ij} dW_j + \delta_i S_i dN_i, $$ donde $W_j$ son independientes estándar Wiener procesos, y $N_i$ son independientes estándar de procesos de Poisson.

Para construir una réplica de la cartera, necesitamos algunas herramientas teóricas, como probar alguna forma de que el lema de Ito para saltar los procesos, pero, en principio, suponiendo que tal cosa existe, probablemente deberíamos manejar para construir una réplica de la cartera.

El salto de los procesos probablemente requieren un poco de cuidado a la hora de imponer la auto-financiación de la restricción en la cartera, pero básicamente actúan como al azar, instantánea de inyecciones o retiros de dinero que puede ser utilizado para reequilibrar la cartera.

Q1, Q3 y Q4

No estoy seguro acerca de mi respuesta a Q2, y no tienen ni idea acerca de cómo abordar la Q1, Q3 y Q4. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Esto es fácil de responder con la meta teorema dado en el mismo capítulo. Aquí tienes dos fuentes de aleatoriedad (W y N), y uno de los activos de riesgo.

P1: el Arbitraje en general sucede cuando usted tiene más activos que el número de fuentes aleatorias, pero aquí es al revés, así que la respuesta es sí.

P2: Usted tiene uno de los activos de riesgo, de modo que usted puede delta hedge una fuente de aleatoriedad, decir Browniano, pero no ambas fuentes de aleatoriedad, por lo que el mercado no es completa. Este también es su guía para T4 - es decir,se puede usar la otra opción call con vencimiento a más largo plazo para gestionar la segunda fuente aleatoria? En teoría sí?

Q3: Basado en la Q1 y la Q2, podemos decir que hay muchos de esos precios? Así que no es exclusivo de arbitraje de precio libre?

P4: Pls ver Q2 arriba

Espero que esto ayude!