Intento construir una cartera cuya rentabilidad sea $a + bm_{t+1}$ donde $a$ y $b$ son algunas constantes para un determinado inversor. $m_{t+1}$ es el factor de descuento estocástico en el momento $t+1$ .
Supongo que para tener $a$ como devolución, tendría que comprar $\frac{a}{1+r_f}$ unidades del activo sin riesgo, cuya existencia damos por sentada. Aquí $r_f$ es el tipo de interés sin riesgo.
Entonces para la cartera que devuelve $m_{t+1}$ Procedo de la siguiente manera. Me han dado la pista de que debo considerar la regresión $m_{t+1} = \sum_j^J \beta_jR_{j,t+1} +\varepsilon_{t+1}$ con $E[\varepsilon_{t+1}R_{i,t+1}] = 0$ para todos $i=1,\ldots,J$ . Aquí $R_{i,t+1}$ es el rendimiento del activo $i$ y $J$ es el número total de activos.
Mi suposición era encontrar un $(\beta_j)_{j=1,\ldots,J}$ tal que $m_{t+1} = \sum_j^J \beta_jR_{j,t+1}$ casi seguro. Entonces, si demuestro que $$E[\lvert m_{t+1}-\sum_j^J \beta_jR_{j,t+1}\rvert^2] = 0$$ Tendré lo que quiera.
Esto me da algo como $E[m_{t+1}^2] = \sum_j^J \beta_j$ . No estoy seguro de a dónde quiero llegar. Soy bastante nuevo en esto. Agradecería si alguien me puede poner en el camino correcto en la solución de este problema. Gracias.
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Podría echar un vistazo al libro de John Cochrane "Asset Pricing". Es una muy buena introducción al factor de descuento estocástico.Por cierto, En su notación el activo libre de riesgo $\frac{1}{1+r} = E(m_{t+1})$ . De todos modos, echa un vistazo al libro de Cochranes. si se necesita más ayuda tal vez usted puede proporcionar un poco más de detalle.