Cómo demostrar la martingalidad de la tasa a plazo bajo la medida T-forward

Question

Dejemos que $P(t,T)=\mathbb{E}_{Q_{R}}[e^{\int^{T}_{t}r(u)du}|\mathcal{F}_{t}]$ sea el precio de un bono cupón cero de 1 euro con vencimiento $T$ y $r(u)$ el proceso de los tipos de interés. Consideremos el tipo de interés a plazo $\frac{-\partial \log P(t,T)}{\partial T}$ . Cómo demostrar que el delantero es una martingala bajo $Q_{T}$ ? $Q_{T}$ es la medida T-forward con $P(t,T)$ como el numerario.

Parece una pregunta muy básica, sin embargo, realmente no puedo encontrar ninguna prueba en Internet.

Answer 1

Para el avance instantáneo, véase la última página de esta nota: T-Forward Measure de Fabrice Douglas Rouah ( http://www.frouah.com/finance%20notes/The%20T-Forward%20Measure.pdf ).

Para el forward simple, se conoce la relación entre el precio del cupón cero y el forward simple:

$ \frac{P \left(t,T_{n}\right)}{P \left(t,T_{n+1}\right) }=1+\tau F \left(t,T_n \right)$

Que puedes reorganizar para obtener:

$F \left(t,T_n \right)P \left(t,T_{n+1}\right) = \frac{1}{\tau} \left(P \left(t,T_{n}\right)-P \left(t,T_{n+1}\right)\right)$

Así pues, el lado izquierdo es el precio de un activo, ya que es una diferencia del precio de dos bonos dividida por la fracción de tiempo (factor de devengo). Y si se utiliza $P \left(t,T_{n+1} \right)$ como numerario, entonces se obtiene de la fórmula general de valoración:

$ \frac{F \left(t,T_n \right)P \left(t,T_{n+1}\right)}{P \left(t,T_{n+1}\right)}=E^{T} \left[ \left. \frac{F \left(S,T_n \right)P \left(S,T_{n+1}\right)}{P \left(S,T_{n+1}\right)} \right| \mathcal{F}_t\right] $

Y el álgebra simple da:

$F \left(t,T_n \right)=E^{T} \left[ \left. F \left(S,T_n \right)\right| \mathcal{F}_t\right] $

Answer 2

Por definición, $$Fo(t,T)=E^T[S_T|F_t]$$ Tenga en cuenta que la expectativa se toma bajo $T$ -Medida de avance. Ahora, evaluando en $s<T$ : $$E^T[Fo(t,T)|F_s] = E^T[E^T[S_T|F_t]|F_s] = E^T[S_T|F_s] = Fo(s,T)$$ (utilizando la propiedad de la torre de expectativas). Por lo tanto, el tipo de interés a plazo es una martingala bajo la medida T-forward.

Answer 3

La respuesta de @Prabhnoor Duggal es correcta. En este caso, me gustaría ampliarla para hacerla más ágil (véase también la sección 2.5 del libro Modelos de tipos de interés - Teoría y práctica ). Sea $Q$ y $Q^T$ sea el riesgo neutro y el $T$ -adelantar las respectivas medidas de probabilidad. Entonces, para $0\le t \le T$ , \begin{align*} \frac{dQ}{dQ^T}\big|_{[t, T]} = \frac{B_TP(t, T)}{B_t}. \end{align*} Además, \begin{align*} f(t, T) &= \frac{-\frac{\partial }{\partial T}P(t, T)}{P(t, T)}\\ &=\frac{E_Q\left(e^{-\int_t^Tr_s ds}\, r_T\,|\, \mathscr{F}_t \right)}{P(t, T)}\\ &=\frac{E_{Q^T}\left(\frac{dQ}{dQ^T}\big|_{[t, T]}\,e^{-\int_t^Tr_s ds}\, r_T\,|\, \mathscr{F}_t \right)}{P(t, T)}\\ &=E_{Q^T}(r_T \,|\,\mathscr{F}_t). \end{align*} Por lo tanto, $\{f(t, T), \, 0\le t \le T\}$ es una martingala bajo la $T$ -medida de probabilidad hacia adelante.