Varianza de los rendimientos de las opciones

Question

Digamos que escribimos una opción de compra estándar sobre $S_t$ que paga $Max[0, S_t-K] \,\forall \, t \in T $ . Dado que $\frac{dS}{S} = \mu \,dt + \sigma \,dW_t$ y, $V_T = (S_T -K)_+$ podemos resolver esto bajo el marco de Black-Scholes como:

$$V_t[S_t,K,\sigma_S,r,t] = S_t \varPhi[d_1] - K e^{-r (T-t)} \varPhi[d_1 - \sigma \sqrt{T-t}]$$

donde: $\varPhi[x]$ es una función de distribución acumulativa; y,

$$d_1 = \frac{\ln\left(\frac{S_t}{K}\right)+{(r+\sigma^2/2)(T-t)} }{\sigma \sqrt{T-t}}$$

¿Cuál es la varianza esperada de los rendimientos de esta opción? $\sigma_V$ ? Es decir, ¿cómo funciona el proceso $E \left[ V_t \right]$ ¿evolucionar con el tiempo?

Intuitivamente, la varianza logarítmica debería definirse si restringimos que la opción debe tomar valores positivos distintos de cero.

Lo pregunto porque estoy intentando evaluar lo que podría llamarse una opción compuesta en la que los parámetros se adaptan para $V_t$ .

Answer 1

En primer lugar $\mathbf E[V_t]$ es redundante o no es lo que busca. Si quiere escribir $\mathbf E[V_t|\mathcal F_0]$ es sólo $V_0e^{rt}$ si el tipo de interés es constante. No creo que esto sea lo que quieres. Si quiere escribir $\mathbf E[V_t|\mathcal F_t]$ es sólo $V_t$ y su símbolo es redundante.

Creo que, aunque no está claramente expresado, usted quiere lo segundo, es decir, está preguntando cuál es la varianza instantánea $V_t$ es para el proceso de precio de una opción. Esto se desprende claramente del argumento de cobertura de la opción. Está cubierta delta con el subyacente $S_t$ para anular la estocasticidad o volatilidad (varianza). Así, la volatilidad instantánea de $dV_t$ tiene que ser la contenida en $\Delta dS_t$ que es $|\Delta|\sigma S$ . Si necesitamos que la volatilidad instantánea sea de la forma $\frac{dV_t}{V_t}$ es $|\Delta|\frac{S_t}{V_t}\sigma$ . Todo el argumento anterior es válido no sólo para el escenario Black-Scholes, sino para el escenario de opciones más general. Se puede argumentar con la misma facilidad con el lema de Ito.

La relación entre la volatilidad de la opción y la volatilidad del activo subyacente es la relación de variación porcentual de la opción sobre la del activo subyacente, o $\frac S V\Big|\frac{\partial V}{\partial S}\Big|$ . Supongamos que todo el proceso estocástico implicado es una difusión de trayectoria continua; los procesos estocásticos de la deriva, la volatilidad y la correlación son todos independientes del valor del subyacente. Entonces, el valor $V$ es una función convexa de $S$ cuando el pago es. La demostración de esta proposición para el caso general (no restringido al escenario Black-Scholes) no es trivial. Así que $\frac{\partial V}{\partial S}\Big|_{S_t}>\frac{V(S_t)-V(S=0)}{S_t-0}$ para un pago convexo. Los pagos de compra y venta son funciones convexas del activo subyacente. Para una opción de compra general, $V(S=0)=0$ lo que implica $\frac S V\frac{\partial V}{\partial S}>1$ . Pero por un put, $V(S=0)=K\neq0$ . La derivación se rompe. De hecho, no es necesariamente cierto que $\frac S V\Big|\frac{\partial V}{\partial S}\Big|>1$ para la opción de venta, sobre todo cuando la opción de venta está muy dentro del dinero. También es falso para otras opciones, incluso para aquellas en las que $V(S=0)=0$ siempre y cuando la retribución no sea convexa, por ejemplo, un call spread y una opción digital.