La simplificación de una expectativa de la función de tiempo predeterminado y las tasas de

Question

Tengo el siguiente expectativa para calcular :

$$ \mathbf{E}\left[ e^{\int_{t_0}^{\tau} r_s ds} \mathbf{1}_{\{\tau < T\}}\right] $$

Más precisamente, quiero mostrar que :

$$ \mathbf{E}\left[ e^{\int_{t_0}^{\tau} r_s ds} \mathbf{1}_{\{\tau < T\}}\right] = \int_{t_0}^T P(s) dQ(s)$$

donde $P(s) \equiv \mathbf{E}\left[ e^{\int_{t_0}^{s} r_u du} \derecho]$ y $Q(s) \equiv \mathbf{E}\left[ e^{\int_{t_0}^{s} \lambda_u du} \derecho]$, $\tau$ es el primer salto de un proceso de Poisson con intensidad de defecto $(\lambda_t)_t$.

La única hipótesis que tengo es que las tasas de default y son independientes $-$ tasas de no seguir un proceso especial.

Answer 1

Para un proceso de Poisson homogéneo, la intensidad del proceso $\lambda_t$ se supone que para ser determinista. De manera más general, podemos definir $\tau$ a ser el primer salto de tiempo de Cox proceso, o un condicional proceso de Poisson (véase el Capítulo 6 del libro del Riesgo de Crédito). Suponemos que $t_0=0$ es la fecha de valoración. A continuación, la intensidad del proceso $\lambda_t$ puede ser estocástico, y \begin{align*} Q(t) \equiv P(\tau > t) = E\a la izquierda(e^{-\int_{t_0}^t \lambda_s ds} \derecho). \end{align*} Además, dada la independencia de la asunción, \begin{align*} E\a la izquierda(e^{-\int_{t_0}^{\tau} r_u du} \pmb{1}_{t_0<\tau<T} \derecho) &= E\a la izquierda(E\a la izquierda(e^{-\int_{t_0}^{\tau} r_u du} \pmb{1}_{t_0<\tau<T} \,|\, \tau \derecho)\derecho)\\ &=E\left(P(\tau) \pmb{1}_{\tau<T}\derecho)\\ &=-\int_{t_0}^TP(s) dQ(s), \end{align*} donde \begin{align*} P(s) = E\a la izquierda(e^{-\int_{t_0}^s r_u du} \derecho) \end{align*} es el precio de un bono cupón cero con vencimiento $s$ y unidad de valor nominal.

Comentarios: Si suponemos que $t_0>0$, entonces la cuestión debe ser cambiado. Por ejemplo, tenemos que definir la filtración de la información de mercado y el agrandamiento de la filtración generados por el proceso de definir el tiempo por defecto así como la información de mercado. Por otra parte, algunos de martingala invariancia de la propiedad, o $\mathcal{H}$-Hipótesis -, también debe ser asumida.