Comprender el concepto de Martingala precios

Question

Estoy un poco confundido acerca de cómo formular un problema en el que tiene que el precio de una opción sobre una acción. Muchos artículos que dicen que los precios de las acciones son los mejores modelados mediante un movimiento Browniano geométrico (GBM), y entiendo que el GBM es un proceso de Markov. Pero recientemente he leído acerca de Martingales y estoy confundido. Son los precios de las acciones modeladas como GBM o martingales? Es una martingala un tipo especial de GBM donde deriva es cero?

Puede usted por favor me explique en detalle y en el lenguaje básico de la relación y las diferencias entre Markov, GBM, y Martingala procesos. Y puede usted por favor me proporcione un ejemplo, a partir de una GBM, y cómo derivar una Martingala proceso de que?

Muchas gracias!!

Answer 1

A grandes rasgos, podemos expresar la diferencia entre un proceso de Markov y una martingala de la siguiente manera:

• Un proceso de Markov es uno para el cual acondicionado de su valor futuro en su historia es la misma acondicionado de su valor futuro a su valor presente, por lo que $E(h(X_t)\,|\,X_u,\,u\leq s)=E(h(X_t)\,|\,X_s)$, para cualquier función apropiada $h$;

• Una martingala es un proceso cuyo futuro que se espera de valor igual a su valor presente, cuando condicionado por su historia, por lo que $E(X_t\,|\,X_u,\,u\leq s)=X_s$,

para todos $s\leq t$. (Tenga en cuenta que estoy tomando enormes libertades ignorando las condiciones de integrabilidad y otras advertencias importantes.)

En palabras, podríamos decir que los procesos de Markov tienen la propiedad de que sus historias no proporciona ninguna información en exceso de la información contenida en sus valores presentes. Del mismo modo, podríamos decir que martingales son los procesos por los cuales la mejor estimación de su valor futuro es su valor actual.

Estos dos conceptos tienen una historia muy interesante en la Economía Financiera. Por ejemplo, la Hipótesis del Mercado Eficiente efectivamente afirma que los precios de los activos procesos de Markov. Por otro lado, gran parte de los Activos de la Teoría de Precios que caracteriza a valor razonable para los arriesgados de valores en términos de martingales, de una manera o de otra.

Para responder a su pregunta, aunque tanto la condición de Markov y la martingala condición se expresa en términos de condicionales expectativas, en realidad son bastante diferentes nociones. En particular, los procesos pueden ser (1) procesos de Markov y martingales; (2) procesos de Markov, pero no martingales; (3) martingales pero no procesos de Markov; y (4) ni martingales ni de Markov del proceso. Un buen ejercicio es construir ejemplos de los cuatro tipos de proceso de la lista anterior (foco en tiempo discreto, en lugar de en tiempo continuo).

Geométrico, el movimiento Browniano es un proceso que $X$ se caracteriza por la ecuación diferencial estocástica $$d X_t=\mu X_t\,dt+\sigma X_t\,d B_t,$$ para todos $t\geq 0$, donde $B$ es un estándar de movimiento Browniano. Siempre es de Markov (por cierto, esto explica por qué el precio de una opción por escrito en una seguridad que sigue un movimiento Browniano geométrico es una función del precio actual de la seguridad, y no a su precio de la historia). Sin embargo, $X$ es sólo una martingala cuando $\mu=0$ (en cuyo caso nos referimos a ella como driftless movimiento Browniano geométrico.

Answer 2

Te han dado buenas respuestas anteriores. Básicamente, un proceso estocástico ${X_t}$ es un proceso de Markov si $P(\{X_{t} \leq x\} | \mathcal{F}_{s}) = P(\{X_{t} \leq x\} | X_{s})$ para $s \leq t$. Aquí $\mathcal{F}_{s}$ es $\sigma$-álgebra, una colección especial de los subconjuntos de la base del espacio muestral $\Omega$, que contiene toda la información sobre el proceso de $\{X_t\}$ a $s$. En palabras, esto significa que la distribución de los valores futuros de $\{X_t\}$ no depende del camino recorrido hasta el momento $s$, pero sólo en el valor de $X$ en vez de $s$, es decir $X_s$.

Una martingala debe ser definido en términos de condicionales expectativas. Un proceso $\{Y_t\}$ es una martingala con respecto a la de filtrado que recibe $(\mathcal{F}_{t})_{t \geq 0}$ si $E\{Y_{t+h} | \mathcal{F}_{t}\} = Y_{t}$ para todo $h \geq 0$. La mejor predicción de $Y_{t+h}$ da toda la información que hasta el momento $t$ es $Y_t$.

Para conectar este a su pregunta en Gbm, si $dX_{t} = \mu X_t dt + \sigma X_t dB_t$, entonces $X_{t} = X_{0}e^{(\mu \sigma^{2}/2)t + \sigma B_t}$. Soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas son Procesos de Markov.

La martingala de la propiedad depende de la probabilidad de medir. Descuento en los precios de las acciones son martingales bajo el riesgo-neutral medida (utilizando el mercado de dinero de la cuenta como numérarie), pero de descuento de los precios de las acciones no son martingales bajo el mundo real, la probabilidad de medir.

Answer 3

Sólo para dar dos ejemplos. Tenga en cuenta que

• $dX_t =a \; dt + dW_t$ es de Markov, pero no es una martingala.

• $dX_t=(\int_0^t X_s ds) \; dW_t$ es una martingala, pero no es de Markov.