Efectos De Amplificación: Negativo Denominador

Question

Deje de $0 < \rho < 1$ ser la tasa de descuento, $V$ algunos el valor de la opción, y $F$ fundamentales.

$$ \rho V = \beta V + F$$

Usted tiene acceso a algún valor de la opción $V$ que siempre ofrecer algunas fundamental del flujo de valor de $F$, y usted consigue el acceso a otro $\beta$ de la inicial el valor de la opción (algún tipo de amplificación del valor inicial/demanda). La solución para que el valor de la opción, obtenemos

$$ V = \frac{F}{\rho \beta}$$

Ahora que tal vez sólo me confundirse hablando, pero por lo general aquí solo hemos de comprobar si $\rho \beta$ no es exactamente cero.

Por $\rho > \beta$ tenemos que $V$ se valora mucho más que el original de $F$. ¿Cómo puedo entender a los casos donde $\rho < \beta$? Estos son muy posibles, incluso para tanto $\beta$ y $\rho$ entre el cero y el uno. En ese caso, el denominador pasa a ser negativo, y el valor de la opción $V$ es negativo. ¿Qué está pasando?

Ejemplo De

Por petición popular, aquí está una versión más general del modelo (todavía una abstracción, pero espero que esto proporciona el contexto suficiente.

Pensar $V$ como el valor de una vacante, en una búsqueda-y-la coincidencia de contexto. El mercado opresión $\theta$, usted encontrará una coincidencia en la tasa de $q(\theta)$. Las vacantes están asociadas con el flujo de costos $c$.

Ahora, una vez que se ha emparejado con un trabajador desempleado, usted puede decidir aceptar que coincidir ($\beta = 1)$, o rechazarlo ($\beta = 0$). De hecho, toda la línea de $\beta \[0, 1]$ es permitido, entendido como una estrategia mixta. De hecho, la estrategia mixta puede ser entendido como las proporciones de la población, dado que la vacante es representante.

Por tanto, dada la estrategia de $\beta$, el valor de la vacante está dada por

$$ \rho V(\beta) = -c + q(\theta)[ \beta(V(\beta)-J) + (1-\beta)J]\\ \Leftrightarrow V(\beta) = \frac{-c + q(\theta)(1-2\beta)J}{\rho - q(\theta)\beta} $$

Tenga en cuenta que la configuración de $F\equiv - c+ q(\theta)(1-2\beta)J$ casi recupera la ecuación inicial.

Ahora, me trató de resolver esta (o más bien, una más complicada la instalación) utilizando una cuadrícula para $\beta$. Pero a veces, la solución fue dada por un $\beta$ tal que el denominador es negativo (y pequeño), y el numerador, demasiado, era pequeño. Traté de envolver mi cabeza alrededor de eso, pero yo no podía comprender intuitivamente lo que significa.

Tenga en cuenta que mientras que la actual respuesta va un largo camino en la resolución del modelo para mí, en realidad no responde a mi pregunta - sobre el significado de una negativa denominador. Por lo tanto, en el estado actual, no voy premio que recompensa e invitar a más respuestas.

Answer 1

$\beta$ parece ser una decisión de la variable, a nivel de empresa. A continuación, su valor debe ser determinado de manera óptima, bajo algún criterio. Entonces, ¿cuál es el criterio, ¿cuál es la función objetivo que debe ser optimizado sobre el valor de $\beta$?

Parece que debemos maximizar el valor de la opción $V(\beta)$

$$V(\beta) = \frac{-c + q(\theta)(1-2\beta)J}{\rho - q(\theta)\beta}$$

La primera derivada es (voy a prescindir de $\theta$)

$$\frac {\partial V(\beta)}{\parcial \beta} = \frac{-2qJ\cdot[\rho - q\beta]+p\cdot[-c + q(1-2\beta)J]}{[\rho - q\beta]^2}$$

$$\implica \frac {\partial V(\beta)}{\parcial \beta} = \frac{-2qJ\rho -cq + q^2J}{[\rho - q\beta]^2} = \frac{q}{[\rho - q\beta]^2}\cdot (-2J\rho -c + qJ)$$

$$\implica {\rm signo}\frac {\partial V(\beta)}{\parcial \beta} = {\rm signo}\big\{(p-2\rho)J-c\big\} \etiqueta {1}$$

Por lo que $V(\beta)$ es monótona en $\beta$. Por lo tanto, dependiendo de los valores tomados por $J,\rho, c, q$, que será el óptimo para el conjunto $\beta$ igual $0$ o $1$.

Supongamos ahora que $\partial V(\beta)/\partial \beta >0$. Esto requiere que

$$(q-2\rho)J-c > 0 \implica p > \frac {c}{J} + 2\rho \implica p > \rho \etiqueta {2}$$

Entonces $\beta^* =1$ y

$$V^*|_{\beta =1} = \frac{-c - qJ}{\rho - q} = \frac{c + qJ}{q-\rho } > 0$$

dado $(2)$.

A su vez, suponga que $\partial V(\beta)/\partial \beta <0$. Esto requiere que

$$(q-2\rho)J-c < 0 \implica q < \frac {c}{J} + 2\rho \etiqueta {3}$$

Entonces $\beta^* =0$ y

$$V^*|_{\beta =0} = \frac{-c + qJ}{\rho} $$

Para tener $V^*|_{\beta =0} >0 $ necesitamos

$$\frac {c}{J} < q < \frac {c}{J} + 2\rho \etiqueta {4}$$

al respecto también $(3)$. Así que aquí una restricción necesaria en los parámetros que se impone, con el fin de obtener un valor positivo de $V$.

La combinación, si nos imponen las restricciones

$$p > \rho \;\;\; p > c/J$$

nos permiten, ya sea $\beta =1$ o $\beta =0$ (depende de la exacta los valores de parámetro), mientras que al mismo tiempo que se garantiza que $V>0$ en todos los casos. Esto no es inusual en los modelos económicos -es decir, la necesidad de restringir los parámetros de tal manera que para el modelo para ofrecer soluciones que son económicamente significativos. Y necesitamos $V$ a de ser positivo, porque de lo contrario, la vacante no existir, en primer lugar, tal y como yo entiendo la puesta en marcha.