Cálculo de la probabilidad de impago sin recuperación

Question

Dados dos métodos para calcular la probabilidad condicional de impago a un año de un bono de cupón cero, he llegado a resultados ligeramente diferentes pero cercanos.

A partir de mis planteamientos, ¿es razonable que los resultados sean erróneos? ¿Se considera que la cantidad de desviación es grande? ¿Se me escapa algo?

Dada:

Bono de cupón cero a un año con un valor nominal de 1 millón que cotiza al 80% de su valor nominal. Suponiendo una recuperación 0 y un tipo libre de riesgo del 5%.

Probabilidad de impago condicional a 1 año (si no hay impagos anteriores):

Método 1

Obtener la probabilidad de impago a partir de una tasa de riesgo (probabilidad condicional instantánea de impago)

$Bond Return = (\frac{Face}{Price})^{1/maturity} -1 = 25\%$

$Spread = 25\% - 5\% = 5\%$

$\lambda = \frac{spread}{1-Recovery} = 20\%$

$\pi_{1 year} = 1 - e^{-\lambda} = 18.13%$

Método 2

Equivale al valor futuro de un bono de riesgo con el rendimiento (y) y la probabilidad de impago ( $\pi$ ) a un activo sin riesgo con rendimiento ( $R_f$ )

$1 + R_f = (1-\pi)*(1+R_f+z)+\pi*Recovery$

Donde z es la dispersión.

Teniendo en cuenta lo anterior (extraído de un examen práctico del GARP FRM), el resultado es del 16%.

Answer 1

Dejemos que $\tau$ sea la hora por defecto, $\lambda$ sea la tasa de riesgo constante, y $T=1.0$ sea el vencimiento del bono. El valor del bono de cupón cero incumplible viene dado por \begin{align*} D(0, T) &= e^{-rT}P(\tau > T). \end{align*} Entonces la probabilidad de incumplimiento viene dada por \begin{align*} P(\tau \le T) &= 1- P(\tau > T)\\ &=1-D(0, T) \times e^{rT}\\ &=1-0.8 \times e^{0.05}\\ &=0.158983. \end{align*} El Método 2 resultado parece mucho más cercano.

$$$$ El error en su Método 1 se debe a la incoherencia del rendimiento de los bonos y de la tasa de riesgo, es decir, uno es compuesto simple, mientras que el otro es continuo. Si se define el rendimiento de los bonos por \begin{align*} BondReturn &= -\frac{1}{maturity} \ln \frac{price}{face}\\ &= -\ln (0.8) = 0.22314, \end{align*} entonces se tiene la tasa de riesgo \begin{align*} \lambda = spread= 0.22314 -0.05 = 0.17314. \end{align*} y la probabilidad de incumplimiento \begin{align*} 1-e^{-\lambda} = 0.158983. \end{align*} En Método 2 En este caso, se supone que tanto el diferencial como el rendimiento de los bonos son simples, lo que puede no ser exacto, pero, al menos, es coherente.