Diferenciales estocásticos - Fórmula de Ito para una cartera autofinanciada

Question

Supongamos que tengo una cartera de acciones $(S)$ y la cuenta de ahorro ( $\beta_t$ ) entonces, el valor es

$$V = a_t S_t + b_t \beta_t$$

y para que esta cartera se auto replique, necesitamos por el lema de Ito $$dV = a_t dS_t + b d \beta_t$$

Ahora dejemos que $$a_t = 2B_t, b_t = -t - B_t^2 - 20B_t, S_t = 10 + B_t, \beta_t = 1$$ Con $$B_t = \text{Brownian Motion at time t}$$

¿Cómo puedo demostrar si esta cartera se autofinancia?

Puedo escribir

$$V = a_t S_t + b_t \beta_t = 2B_t(10+B_t) - (t + B_t^2)$$ $$= 20B_t + 2B_t^2 - t - B_t^2 = 20B_t + B_t^2$$

Desde $$S_t = 10 + B_t \to dS_t = dB_t ?$$ Y $$\beta_t = 1 \to d \beta_t = 0 ?$$

Ahora tengo dificultades para evaluar $dV$ en estos términos. ¿Alguien puede ayudar?

$$dV = \{....?\}$$

Answer 1

La cartera se autofinancia. Simplemente se ha olvidado un término en $b$ y un $-t$ término en $V$ : $$\begin{eqnarray} V_t &=& a_t S_t + b_t \beta_t = (2B_t ) (10+ B_t) + (- t - B_t^2 - 20B_t)1 \\ &=& 20B_t + 2B_t^2 - t - B_t^2 - 20B_t \\ &=& B_t^2 - t \end{eqnarray}$$ Aplicando el lema de Ito $$\begin{eqnarray} dV_t &=& (2B_t dB_t + \frac{1}{2}2d\langle B,B\rangle_t) - dt \\ &=& 2B_t dB_t \\ &=& a_t dS_t + b_t d\beta_t \end{eqnarray}$$ Desde $dS_t = dB_t$ y $d\beta_t = 0$ tenemos $$\begin{eqnarray} dV_t &=& a_t dS_t + b_t d\beta_t \end{eqnarray}$$ que es una caracterización de una cartera de autofinanciación.