¿Por qué la elasticidad se define como la logarítmica derivados?

Question

En mi clase de economía, a menudo nos calcular la elasticidad de $Y$ con respecto a $X$, $$\eta = \frac{\partial \log Y}{\parcial \log X}.$$ Puede calcular esta a partir de la pendiente de una línea que se ajustan a una log-log de la parcela.

¿Por qué es más natural considerar que esta cantidad de la mucho más simple cantidad $$\eta' = \frac{\partial Y}{\partial X}$$ que es tan fácil de medir? Parece que hay cierta suposición implícita de que $\eta$ es tal vez "más aplicable", tal vez eso es menos sensible a los valores de $X$ de $\eta'$ es, por lo tanto es más útil para la extrapolación. Por ejemplo, he visto a una curva de demanda extrapolado suponiendo que $\eta$ es constante, produciendo una ley de potencia. Pero, ¿por qué no se asume que $\eta'$ es constante, produciendo una línea? Ninguno de los dos parece particularmente más natural para mí.

¿Por qué es de $\eta$ a más útiles de la cantidad de $\eta'$ en la economía?

Answer 1

Si entiendo tu pregunta, en primer lugar, de la elasticidad no han unidades. El problema con $\parcial S/\partial X$ es que si se cambian las unidades de medida el resultado es diferente. Es menos problemático para expresarlo en porcentajes: $$ El_X(Y)=\frac{\Delta Y/Y}{\Delta X/X}$$ si $\Delta Y \to 0$ cuando $\Delta X \to 0$ entonces usted obtener $$El_X(Y)=\frac{dY}{dX}\frac{X}{Y}$$ si $Y=Y(X,W,...,Z)$ de cambiar $d$ de $\parcial de$.

En segundo lugar, como usted sabe $d \log(x)=\frac{dx}{x}$ por lo tanto $$ El_X(Y)=\frac{d Y}{d X}\frac{X}{Y}=\frac{d\log(Y)}{d\log(X)}.$$

Answer 2

En primer lugar, la elasticidad mide la capacidad de respuesta de la cantidad demandada o de la cantidad suministrada a la hora de un cambio en el precio se produce.

Estas mediciones se hacen en el porcentaje de cambio de forma.

Desde mi punto de vista, la razón principal por la que la informática elasticidad usando $log$ es porque haciendo esto pone sus datos en términos de porcentaje. Dado que la elasticidad es una razón de cambio porcentual en la cantidad demandada/suministrado al cambio porcentual en el precio, esta sería la explicación más plausible.

Usted verá el uso de $log$ para transformar los datos en términos de porcentaje en cursos de Econometría.

Actualización: yo no creo que es más "natural" para decir las cosas como porcentajes. Pero los porcentajes pueden dar más información. Dan información relativa. Por ejemplo, Suponga que tiene \$100 y tengo \$10. Una tercera persona da a cada uno de nosotros \$1, ahora tienes \$101 y tengo \$11. En términos absolutos, hemos recibido un dólar, pero en términos porcentuales, el dinero creció el 1% y mi dinero en efectivo aumentó en un 10%.

Espero que esto ayude!

Answer 3

Uno extremadamente función de toda la economía es la Cobb-Douglas es la forma funcional (por ejemplo. $ $ y = bx_1^un x_2^b$). Esto no sólo se muestran en las funciones de utilidad, sino también para las funciones de producción o de las funciones de crecimiento (como en el de Solow Cisne modelo).

Tomando el log-log formulario aquí tiene algunas implicaciones. En primer lugar, las gotas de $a$ y $b$ a partir de los exponentes a los lineales de coeficientes, que le da un formulario de $lny = b+alnx_1+blnx_2$. Esto es importante, porque puede ejecutar una regresión lineal en esta forma funcional, pero no la original. Puede ver un ejemplo de que en este documento.

También tiene aplicaciones en la microeconomía empírica; usted puede comprobar si una firma ha aumentar, disminuir o rendimientos constantes a escala si usted encontrar $a+b > o < 1$. Esto puede tener implicaciones importantes; puede responder a algunas preguntas como: "debemos romper estas grandes empresas?"

La segunda hace las matemáticas más bonito en algunos casos. Esto puede ser útil en algunos casos; en un Máximo de estimación de la probabilidad de tener un matemáticamente más amigable la forma funcional puede ahorrar horas de tiempo de cálculo encontrar maxima.

Answer 4

En primer lugar, la interpretación de $\eta=\frac{\partial\log y}{\parcial\log x}$ y $\eta'=\frac{\partial y}{\partial x}$ son diferentes. $\eta$ es la relación entre el porcentaje de cambio y $\eta'$ es la relación de cambio absoluto. Pero usted ya lo sabe. La verdadera pregunta no es por qué definimos como "elasticidad" como una relación de los cambios de porcentaje en lugar de absoluta cambios en la economía, ya que esa es la forma en que usamos la palabra "elasticidad" en la vida cotidiana: supongamos que Una banda de goma es de 10 pulgadas de largo y puede ser estirada por 1 pulgada cuando la fuerza F se aplica, y el caucho de la banda de B es de 1 pulgada de largo y puede ser estirada por 0,5 pulgadas cuando la misma fuerza F se aplica. Diríamos banda de goma B es más "elástica" de Una, porque no nos preocupamos de cambio absoluto, sino relativo, cambiar la hora de definir la "elasticidad".

Así que creo que tu pregunta es "¿por qué es la elasticidad $\eta$ más aplicable/útil que $\eta"$?" Mi respuesta es que $\eta$ no es más útil o aplicable/natural. Tanto $\eta$ y $\eta'$ son útiles en diferentes aplicaciones.

Tomar la elasticidad de los precios de ejemplo. En el precio unitario \$1, Un consumidor podría comprar 10 manzanas y los consumidores de B a comprar 5 manzanas. En el precio unitario \$2, Un consumidor podría comprar 6 manzanas y los consumidores de B sería la compra de 1 manzana. Es decir, cuando el precio de las manzanas aumenta por \$1, tanto a los consumidores a reducir su compra por parte de 4 manzanas. Tanto para los consumidores, $\eta'=\frac{\Delta\text{manzanas}}{\Delta\text{precio}}=4$. Este es un dato útil si lo que quería saber es qué pasa con las ventas de manzanas si el precio aumentó \$1. Pero si queremos saber lo que el consumidor responda de manera más drástica para el cambio de precio, $\eta'$ no es una buena medida. Porque parece consumidor B es más "sensible" a los cambios de precio: ella le cortó la manzana consumo en un 80%, en comparación con sólo el 40% de reducción de consumo de A. por Lo que $\eta$ es una mejor medida de esta "sensibilidad" o "elasticidad" con respecto a cambios en el precio.

En su curva de demanda extrapolación ejemplo, suponiendo que la constante de elasticidad de $\eta$ es probablemente más cerca de la verdad que suponiendo constante $\eta'$. Si se supone constante $\eta'$, la curva de demanda es una línea recta. Efectivamente, esto significa que el cambio de precio de \$1 \$2 induce mismo cambio en la cantidad demandada como el cambio en el precio de \$100 a $ \$101. Pero esto no es apoyado por la evidencia o el sentido común. El cerebro humano no funciona de esta manera. En este sentido, los cambios relativos no parecen ser relevantes en la más económica de las aplicaciones de los cambios absolutos.