Cuando el gradiente de la función de utilidad es un vector cero

Question

En la teoría microeconómica avanzada de Jehle y Reny se dice que si $\mathbf{x^*}$ es una solución al siguiente problema de maximización $\max_{\mathbf{x} \in \mathbb{R}_+^n} u(\mathbf{x}) $ sujeto a $\mathbf{p \cdot x}\le y$, entonces $\bigtriangledown u(\mathbf{x^*})=\mathbf{0}$
es posible pero bastante improbable.

¿La pregunta es por qué es bastante improbable? Solo puedo pensar en la restricción presupuestaria, ¿pero es correcto?

Answer 1

Esto se refiere a las derivadas parciales de la función de utilidad con respecto a los bienes, y no a la derivada parcial del Lagrangiano del problema de maximización.

Entonces, una derivada cero, y además en el óptimo, implicaría una cantidad umbral después de la cual la utilidad disminuye.

En el mundo real, todos sabemos que consumir en exceso puede resultar en una reducción de la utilidad (piensa en comer demasiada comida muy rápido).

En el mundo teórico, se han utilizado formas funcionales de utilidad, especialmente "utilidad cuadrática" en modelos intertemporales de consumidores representativos en macroeconomía con un solo bien,

$$u(x) =ax - bx^2$$

En microeconomía, todo desarrollo abstracto de la teoría generalmente asume que la utilidad no disminuye en cada bien por separado. Pero en casos donde se desee permitir una utilidad decreciente, entonces, de hecho, la razón por la que no esperaríamos encontrar el óptimo en el punto de gradiente cero, serían las operaciones de la restricción presupuestaria junto con los precios relativos.