Cómo resolver el siguiente problema, $$ \min_{d \in \mathbb{R}^{+}} \text{CVaR}_{\alpha}(\min(X,d)) $$, donde, X es una variable aleatoria cuya función de distribución de $f_{X}(x)$ es dado y $d$ es la variable de decisión.
Respuesta
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El valor mínimo es de siempre se alcanza a $d=0$.
En esta prueba, voy a suponer que la distribución de la variable aleatoria $X$ es absolutamente continua y monótona creciente, y por lo tanto la CDF de $X$ es invertible (aunque creo que el resultado tiene en general).
Revisión $\beta\en(0,1)$. Tenemos que
$ $ \Psi(d,\alpha)\equiv\int_{\min\{d,x\}\leqslant\alpha}p(x)dx=\begin{cases}1,&d\leqslant\alpha,\\F(\alpha),&d>\alpha,\end{cases}$$
donde $p$ y $F$ son los PDF y el CDF de la variable aleatoria $X$, respectivamente.
Por definición, $\text{VaR}_\beta\min\{X,d\})=\min\{\alpha\in\mathbb{R}\ |\ \Psi(d,\alpha)\geqslant\beta\}$. Por inspección, tenemos que
$$ \text{VaR}_\beta\big(\min\{X,d\}\big)=\min\{d,F^{-1}(\beta)\}.$$
Entonces, por definición de CVaR:
$ $ \text{CVaR}_\beta\big(\min\{X,d\}\big)=\frac{1}{1-\beta}\int_{\min\{d,x\}\geqslant\min\{d,F^{-1}(\beta)\}}\min\{d,x\}p(x)dx.$$
Hay dos casos:
Caso 1: $F^{-1}(\beta)\leqslant0$. En este caso, $\text{VaR}_\beta\min\{d,X\})=F^{-1}(\beta)$ para todo $d\in\mathbb{R}_+$. Por lo tanto
\begin{align} (1-\beta)\text{CVaR}_\beta\min\{d,X\})&=\int_{F^{-1}(\beta)}^\infty\min\{d,x\}p(x)\, dx\\ &=\underbrace{\int_{F^{-1}(\beta)}^0xp(x)\ dx}_{\displaystyle\text{w Constante.r.t. }d}+\underbrace{\int_0^dxp(x)\ dx}_{\displaystyle\geqslant0\ \forall\ d\in\mathbb{R}_+}+\underbrace{\int_d^\infty dp(x)\ dx}_{\displaystyle=d(1-F(d))} \end{align} Desde $d(1-F(d))\geqslant0$ para todo $d\in\mathbb{R}_+$, tenemos que
$$ \min_{d\in\mathbb{R}_+}\text{CVaR}_\beta\min\{d,X\})=\frac{1}{1-\beta}\int_{F^{-1}(\beta)}^0xp(x)\ dx, $$
alcanzó a $d=0$.
Caso 2: $F^{-1}(\beta)>0$. Un cálculo directo similar a la anterior demuestra que
\begin{ecuación} (1-\beta)\text{CVaR}_\beta\min\{d,X\})= \begin{casos} d(1-F(d)),&0\leqslant{d}\leqslant{F^{-1}(\beta)},\\ \displaystyle d(1-F(d))+\int_{F^{-1}(\beta)}^dxp(x)\ dx,&F^{-1}(\beta)<d. \end{casos} \end{ecuación}
Por inspección, claramente tenemos que
\begin{ecuación} \min_{d\in\mathbb{R}_+}\text{CVaR}_\beta\min\{d,X\})=0, \end{ecuación}
alcanzó a $d=0$.
