Equivalente de martingala medir la evolución de los precios

Question

Se asume que $S_0(t)=\exp(\int_0^t r(s) ds)$. Entonces $\mathbb{Q}\sim \mathbb P$ es una martingala medida $\ffi$ cada precio de los activos de proceso de $S_i$ ha la dinámica de precios de menos de $\mathbb Q$ de la forma

$dS_i(t)=r(t)S_i(t)dt+dM_i(t)$,

donde $M_i$ es $\mathbb Q$ - martingala.

Leí la siguiente prueba de este teorema:

Deje que $\tilde{S}_i(t)=\dfrac{S_i(t)}{S_0(t)}$.

$\dfrac{1}{S_0(t)}=\exp(-\int_0^t r(s) ds)$

Por lo tanto

$d\left(\dfrac{1}{S_0(t)}\right)=-r(t)\dfrac{1}{S_0(t)}dt.$

Por Itó del producto regla

$d\left(\dfrac{S_i(t)}{S_0(t)}\right)=-r(t)S_i(t)\dfrac{1}{S_0(t)}dt+\dfrac{1}{S_0(t)}dS_i(t)+d\langle S_i,\dfrac{1}{S_0}\rangle_t= -r(t)\tilde{S}_i(t)dt+\dfrac{1}{S_0(t)}dS_i(t).$

Entiendo que todos los matemáticos paso de la prueba pero, ¿por qué hace esto prueba el teorema? ¿Alguien puede explicar?

Answer 1

Tal y como está, la afirmación "$\Bbb{Q} \sim \Bbb{P}$ es una martingala medida" no es completa. Omite decir qué proceso(s) que debe emerger como martingala(s) de menos de $\Bbb{Q}$. Estos procesos son $\tilde{S}_i(t) = S_i(t)/S_0(t)$ para cualquier negocian activos $S_i$.

Dicho esto, a partir de la última ecuación: $$d\left(\dfrac{S_i(t)}{S_0(t)}\right)= -r(t)\tilde{S}_i(t)dt+\dfrac{1}{S_0(t)}dS_i(t).$$ Por $\tilde{S}_i(t)=S_i(t)/S_0(t)$ a emerger como un $\Bbb{Q}$ martingala, usted debe tener, $$ d\tilde{S}_i(t) = -r(t)\tilde{S}_i(t)dt+\dfrac{1}{S_0(t)}dS_i(t) = d M_i(t) $$ con $M_i(t)$ a $\Bbb{Q}$-martingala.

Aislamiento de $dS_i(t)$ en la segunda igualdad se da \begin{align} dS_i(t) &= r(t) \tilde{S}_i (t) S_0(t) dt + S_0(t) d M_i(t) \\ &= r(t) S_i(t) dt + d M^*_i(t) \\ \end{align} suponiendo que de costumbre integrabilidad condiciones tales que $$ M^*_i(t) = \int_0^t S_0(u) dM_i(u) $$ es una bien definida Itô integral y, por tanto, también una martingala (ver sugerencias aquí)

Answer 2

¿Cuál es la definición de Equivalente de Martingala Medida? Se trata de una medida $\mathbb{Q} \sim \mathbb{P}$ s.t. $\frac{S_i}{S_0}$ es la martingala en $\mathbb{Q}$. En el último paso de tu demostrar asumir $S_i$ tiene algunas deriva $a$ y la volatilidad $b$, es decir $dS_i=adt+bdZ^\mathbb{Q}$ y sustituir a obtener: $$d\left(\frac{S_i}{S_0}\derecho)=-r\left(\frac{S_i}{S_0}\derecho)dt +\left(\frac{1}{S_0}\derecho)dS_i=-r\left(\frac{S_i}{S_0}\derecho)dt +\left(\frac{1}{S_0}\right)(adt+bdZ^\mathbb{Q})$$ A que garantizan que el proceso es de hecho una martingala notar que: $$d\left(\frac{S_i}{S_0}\right)=\left(-r\frac{S_i}{S_0}+\frac{a}{S_0}\derecho)dt+ \text{martingala parte} $$, por Tanto, a la deriva igual a cero y obtener $a=rS_i$ a lo solicitado.