¿Cuál es la probabilidad de que un Puente Browniano golpea a un superior de la barrera de $U$ antes de una menor barrera de $L$?

Question

La probabilidad de que una media aritmética de movimiento Browniano proceso $dt = \mu dt + \sigma dW$ golpea a un superior de la Barrera de $U$ antes de que llegue a una menor barrera de $L$ es dada por

$$ \mathbb{P}(\tau_U\leq \tau_L) = \frac{\text{Y}(x_0)-\text{Y}(L)}{\text{Y}(U)-\text{Y}(L)} $$ donde $$ \text{Y}(x) = exp(\frac{-2\mu x}{\sigma^2}) $$

Pero, ¿qué es de $\mathbb{P}(\tau_U\leq T \,\cap\, \tau_U\leq\tau_L)$ si tanto $x_0$ y $x_T$ se conocen?

es decir, la probabilidad de que el proceso llega a $U$ antes $de L$, mientras que entre los puntos extremos de un puente Browniano.

Answer 1

Idea

Deje que $B$ a ser un estándar de movimiento browniano a partir de $x_0=0$, $m_T = \inf_{u\leq T}B_u$ y $M_T =\sup_{u\leq T}B_u$.

Vamos a definir si existe para $A\in\sigma(B_u,u\leq T)$, $\mathbb{P}(A | B_T=x_T)\stackrel{\rm def}{=}\lim_{\varepsilon\to 0}\mathbb{P}(A|B_T\en(x_T-\varepsilon,x_T+\varepsilon))$

$$\begin{split} \mathbb{P}(\tau_U\leq T \cap \tau_U\leq \tau_L)= & \mathbb{P}(m_T>L;M_T\geq U |B_T =x_T)\\ = &\mathbb{P}(m_T>L|B_T=x_T)-\mathbb{P}(L<m_T<M_T<U|B_T=x_T) \end{split}$$

Los cálculos intento

Entonces, este es el lado de cálculos basados en los resultados de golpear veces desde el Capítulo 3 de Métodos Matemáticos para los Mercados Financieros de Monique Jeanblanc, Marc Yor y Marc Chesney.

así lo denota $p_T(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{y^2}{2}}$

Tengo: $$\begin{split} P\stackrel{\rm def}{=} & \mathbb{P}(\tau_U\leq T \cap \tau_U\leq \tau_L)\\ =& \frac{p_T(-2L+x_T)}{p_T(-x_T)} - \frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}p_T(x_T+2n(U-L))-p_T(2U-x_T+2n(U-L))}{p_T(x_T)} \end{split}$$