Delta de una opción derivada del modelo binomial

Question

Tengo la siguiente función $V=V(S,t)$ , $V^- = V(vS,t+\delta t)$ , $V^+ = V(uS, t +\delta t)$ . El libro procede a explicar que si utilizamos la expansión en serie de Taylor sobre lo anterior confirmaremos que $\frac{\partial V}{\partial S} \sim \Delta$ sustituyendo los resultados en $\Delta = \frac{V^+ - V^-}{S(u-v)}$ .

Obtengo los siguientes resultados para la expansión: $V^- = V^- (vS,t)+ \frac{\partial V^-}{\partial t} \delta t$

$V^+ = V^+ (uS,t)+\frac{\partial V^+}{\partial t} \delta t$

No estoy seguro de cómo proceder, subiendo ahora mismo no da ningún resultado sensato. No estoy seguro de dónde obtenemos la derivada parcial de $V$ con respecto a $S$ o bien ¿Es eso de ampliar $V(S,t)$ En ese caso, ¿cómo ampliarlo? Básicamente, ¿cómo llego al resultado que muestra que la derivada parcial de $V$ con respecto a $S$ ¿es delta?

Answer 1

Esta no es la expansión de Taylor con respecto a $t$ en cambio, es la expansión de Taylor con respecto a $S$ . Además, los precios en el momento $t+\delta t$ se utiliza para la aproximación. Es decir, \begin {align*} \frac { \partial V}{ \partial S} \big |_t & \approx \frac {V(uS, t) - V(vS, t)}{uS - vS} \\ & \approx \frac {V(uS, t+ \delta t) - V(vS, t+) \delta t)}{S(u-v)} \\ &= \frac {V^+-V^-}{S(u-v)}. \end {align*} La razón es que, en el momento $t=0$ En este caso, sólo se dispone de un único precio y, para calcular los coeficientes de cobertura delta y gamma respectivos, se necesitan otros árboles. Por eficiencia computacional, utilizamos los precios en el tiempo $0+\delta t$ donde hay varios precios disponibles.