Optimización dinámica : El stock de recursos como sumidero

Question

Pienso en un problema dinámico donde el planificador social maximiza la siguiente utilidad ;

$$\underset{c\left(t\right)}{max}\int_{0}^{\infty}u\left(c\left(t\right)\right)e^{-\rho t}$$

con dos restricciones

$$\dot{K}\left(t\right)=AK\left(t\right)-c\left(t\right)$$

$$\dot{S}\left(t\right)=\left(1-S\left(t\right)\right)S\left(t\right)-\gamma AK\left(t\right)$$

donde $S(t)$ y $K(t)$ para el capital natural (mares, lagos, bosques, etc.) y el capital físico, respectivamente. $c(t)$ representa el consumo.

En este $AK$ el capital físico genera algunos residuos que son perjudiciales para el stock de recursos naturales con un parámetro constante $\gamma$ . Esta característica se acerca a Wirl (2004) en la literatura de economía ambiental.

El hamiltoniano del problema es

$$\mathcal{H}=u\left(c\left(t\right)\right)+\lambda\left(t\right)\left(AK\left(t\right)-c\left(t\right)\right)+\mu\left(t\right)\left(\left(1-S\left(t\right)\right)S\left(t\right)-\gamma AK\left(t\right)\right)$$

$\lambda$ y $\mu$ son variables co-estatales para el capital físico y natural.

La dinámica de las variables co-estatales es

$$\dot{\lambda}=\rho\lambda+\mu\gamma A-\lambda A$$

$$\dot{\mu}=\rho\mu-\mu\left(1-2S\right)$$

De hecho, en este modelo, es fácil observar que el capital natural no tiene valor recreativo no aportan ninguna utilidad positiva y son como un "sumidero".

Como el planificador social sólo tiene en cuenta el efecto negativo de la acumulación de capital (crea residuos), creo que el capital natural entra en este modelo como un "coste".

Entonces, ¿es posible decir que $\mu$ podría tomar un valor negativo ya que el capital natural representa un coste para la acumulación de capital?

Answer 1

"Entonces, ¿es posible decir que $\mu$ podría tomar un valor negativo ya que el capital natural representa un coste para la acumulación de capital "

No. $\mu$ puede considerarse como el precio en la sombra de los recursos naturales. Al ser un "precio", tiene que ser no negativo. Obsérvese que si fijamos $\mu=0$ el problema vuelve al modelo estándar, que tiene una explicación intuitiva: si "no nos importan" los recursos naturales, su "precio" es cero.

Para ver esto desde otra vía, para la función de utilidad estándar CRRA

$$u(c) = \frac {c^{1-\theta}-1}{1-\theta}$$

obtendríamos

$$\frac {\dot c}{c} = \frac{1}{\theta}[A-\rho] - \frac{1}{\theta}\frac{\mu}{\lambda}\gamma A$$

Así que si $\mu <0$ obtendríamos un más alto tasa de crecimiento del consumo, lo que no suena muy plausible si por $\mu <0$ querríamos expresar que "nos importan" los recursos naturales y por eso baja acumulación de capital que les perjudica, y en consecuencia baja la tasa de crecimiento del consumo.